kaoyan1basic 高等数学 第18题
📝 题目
### 【基础篇】第18题（填空题） 18．已知 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ 存在，且 $f(x)=x^{2}+\mathrm{e}^{x} \lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle x^{2}+\frac{\mathrm{e}^{x}}{1-\mathrm{e}}$ **解析**：设$A=\lim_{x\to1}f(x)$，则$f(x)=x^{2}+\mathrm{e}^{x}A$。两边取极限$x\to1$得$A=1+\mathrm{e}A$，解得$\displaystyle A=\frac{1}{1-\mathrm{e}}$。代入得$\displaystyle f(x)=x^{2}+\frac{\mathrm{e}^{x}}{1-\mathrm{e}}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设极限值为常数
设 $A = \lim_{x \to 1} f(x)$，则 $f(x) = x^2 + e^x A$。
提示：由于极限存在，可设其为常数，简化表达式。
步骤 2/4
目标：两边取极限建立方程
对 $f(x) = x^2 + e^x A$ 两边取 $x \to 1$ 的极限，得 $A = 1 + e A$。
公式：$\lim_{x \to 1} f(x) = A$, $\lim_{x \to 1} x^2 = 1$, $\lim_{x \to 1} e^x = e$
提示：注意 $A$ 是常数，极限运算中可直接代入。
步骤 3/4
目标：解方程求A
由 $A = 1 + e A$ 得 $A - e A = 1$，即 $(1-e)A = 1$，解得 $A = \frac{1}{1-e}$。
公式：$A = \frac{1}{1-e}$
提示：注意 $e$ 是自然常数，$1-e \neq 0$。
步骤 4/4
目标：代入得f(x)表达式
将 $A = \frac{1}{1-e}$ 代入 $f(x) = x^2 + e^x A$，得 $f(x) = x^2 + \frac{e^x}{1-e}$。
公式：$f(x) = x^2 + \frac{e^x}{1-e}$
提示：最终结果中分母 $1-e$ 为负，但无需化简。
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