kaoyan1basic 高等数学 第18题
📝 题目
### 【强化篇】第18题（填空题） 18．设存在 $0<\theta<1$ ，使得 $\int_{0}^{x} e^{t} \mathrm{~d} t=x \mathrm{e}^{\theta x}, x>0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**：由$\int_{0}^{x}\mathrm{e}^{t}\mathrm{d}t=\mathrm{e}^{x}-1=x\mathrm{e}^{\theta x}$，得$\displaystyle \mathrm{e}^{\theta x}=\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}$。取对数得$\displaystyle \theta=\frac{1}{x}\ln\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}$。当$x\to0^{+}$时，$\displaystyle \mathrm{e}^{x}-1\sim x+\frac{x^{2}}{2}$，故$\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}\sim1+\frac{x}{2}$，$\displaystyle \ln(1+\frac{x}{2})\sim\frac{x}{2}$，所以$\displaystyle \theta\sim\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{2}=\frac{1}{2}$，即$\displaystyle \lim_{x\to0^{+}}\theta=\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：由积分等式得到θ的表达式
计算积分 ∫₀ˣ eᵗ dt = eˣ - 1，代入已知等式 eˣ - 1 = x e^{θx}，解得 e^{θx} = (eˣ - 1)/x。两边取自然对数得 θx = ln((eˣ - 1)/x)，因此 θ = (1/x) ln((eˣ - 1)/x)。
公式：∫₀ˣ eᵗ dt = eˣ - 1; e^{θx} = (eˣ - 1)/x; θ = (1/x) ln((eˣ - 1)/x)
提示：注意积分结果和等式变形。
步骤 2/2
目标：求极限 lim_{x→0⁺} θ
考虑 x→0⁺ 时，eˣ - 1 ~ x + x²/2，所以 (eˣ - 1)/x ~ 1 + x/2。于是 ln((eˣ - 1)/x) ~ ln(1 + x/2) ~ x/2。代入 θ 表达式得 θ ~ (1/x)·(x/2) = 1/2。因此极限为 1/2。
公式：eˣ - 1 ~ x + x²/2; ln(1+u) ~ u (u→0)
提示：使用等价无穷小简化计算。
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