kaoyan1basic 高等数学 第19题
📝 题目
### 【基础篇】第19题（填空题） 19．设 $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}+x \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}-1}-\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处连续，则应补充 $f(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{3}{2}$ **解析**：$\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}(1+x)}{\mathrm{e}^{x}-1}-\frac{1}{x}$。当$x\to0$时，$\displaystyle \mathrm{e}^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})$，$\displaystyle \mathrm{e}^{x}-1\sim x+\frac{x^{2}}{2}$，$\displaystyle \mathrm{e}^{x}(1+x)=(1+x+\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}))(1+x)=1+2x+\frac{3x^{2}}{2}+o(x^{2})$。则$\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{x}(1+x)}{\mathrm{e}^{x}-1}=\frac{1+2x+\frac{3x^{2}}{2}+o(x^{2})}{x+\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})}=\frac{1}{x}\cdot\frac{1+2x+\frac{3x^{2}}{2}+o(x^{2})}{1+\frac{x}{2}+o(x)}=\frac{1}{x}(1+2x+\frac{3x^{2}}{2}+o(x^{2}))(1-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{4}+o(x^{2}))=\frac{1}{x}(1+\frac{3}{2}x+o(x))=\frac{1}{x}+\frac{3}{2}+o(1)$。故$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}+\frac{3}{2}+o(1)-\frac{1}{x}=\frac{3}{2}+o(1)$，所以$\displaystyle f(0)=\frac{3}{2}$。 **难度**：★★★☆☆