kaoyan1basic 高等数学 第21题
📝 题目
### 【强化篇】第21题（选择题） 21．设 $\alpha(x)$ 是 $x \rightarrow 0$ 时的非零无穷小量，且 $\alpha(2 x)-\alpha(x)=o(x)$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha(x)}{x}$ 的值是（ ）。 （A） 0 （B） 1 （C）$\infty$ （D） 0 或 $\infty$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：由$\alpha(2x)-\alpha(x)=o(x)$，即$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\alpha(2x)-\alpha(x)}{x}=0$。设$\displaystyle L=\lim_{x\to0}\frac{\alpha(x)}{x}$，若存在，则$\displaystyle \frac{\alpha(2x)-\alpha(x)}{x}=2\frac{\alpha(2x)}{2x}-\frac{\alpha(x)}{x}\to2L-L=L$，故$L=0$。若极限不存在，考虑$\displaystyle \alpha(x)=x\sin\frac{1}{x}$，则$\displaystyle \alpha(2x)-\alpha(x)=2x\sin\frac{1}{2x}-x\sin\frac{1}{x}=o(x)$，但$\displaystyle \frac{\alpha(x)}{x}=\sin\frac{1}{x}$极限不存在，但题目说非零无穷小，$\displaystyle \sin\frac{1}{x}$在0附近振荡，不是非零？实际上$\displaystyle \alpha(x)=x\sin\frac{1}{x}$在0附近有零点，但非零无穷小要求除0点外非零？通常非零无穷小指在去心邻域内不为0，但$\displaystyle \sin\frac{1}{x}$有零点，故不满足。考虑$\alpha(x)=x$，则$\alpha(2x)-\alpha(x)=x=o(x)$成立，$L=1$？但$\displaystyle \frac{x}{x}=1$，而$\displaystyle \frac{\alpha(2x)-\alpha(x)}{x}=1$，不是$o(x)$，故不满足。所以只有$L=0$时成立。故极限为0。 **解析**：由条件得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\alpha(2x)-\alpha(x)}{x}=0$，若$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\alpha(x)}{x}=L$存在，则$2L-L=0$，得$L=0$。若不存在，可构造反例但非零条件限制，故极限必为0。 **难度**：★★★☆☆