kaoyan1basic 高等数学 第22题
📝 题目
### 【基础篇】第22题（选择题） 22．函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\ln |1-x|}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)(x+2)}$ 的第二类间断点的个数为 ． （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：$\displaystyle f(x)=\frac{\ln|1-x|}{(\mathrm{e}^{x}-1)(x+2)}$。间断点：分母为零的点$x=0$（$\mathrm{e}^{x}-1=0$）和$x=-2$，以及分子无定义的点$x=1$（$\ln|1-x|$无定义）。$x=0$：$\ln|1-x|\sim -x$，分母$(\mathrm{e}^{x}-1)(x+2)\sim x\cdot2=2x$，故极限为$\displaystyle -\frac{1}{2}$，可去间断点（第一类）。$x=-2$：分子$\ln|1-(-2)|=\ln3$，分母$(\mathrm{e}^{-2}-1)\cdot0=0$，非零/0，无穷间断点（第二类）。$x=1$：分子$\ln|1-x|\to-\infty$，分母$(\mathrm{e}^{1}-1)(3)$非零，故无穷间断点（第二类）。故第二类间断点个数为2（$x=-2$和$x=1$）。 **解析**：间断点$x=0,-2,1$。$x=0$为可去，$x=-2$和$x=1$为第二类，共2个。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定所有可能的间断点
函数 f(x) = ln|1-x| / [(e^x - 1)(x+2)] 的间断点出现在分母为零或分子无定义处。分母为零：e^x - 1 = 0 得 x=0；x+2=0 得 x=-2。分子无定义：ln|1-x| 在 x=1 处无定义。因此可能的间断点为 x=0, x=-2, x=1。
提示：注意 ln|1-x| 在 x=1 处无定义，也是间断点。
步骤 2/5
目标：判断 x=0 的类型
当 x→0 时，ln|1-x| ~ -x，e^x - 1 ~ x，因此 f(x) ~ (-x) / (x * 2) = -1/2，极限存在且为有限值，故 x=0 为可去间断点（第一类）。
公式：ln(1+u) ~ u, e^u - 1 ~ u (u→0)
提示：使用等价无穷小简化极限计算。
步骤 3/5
目标：判断 x=-2 的类型
当 x→-2 时，分子 ln|1-x| → ln3 ≠ 0，分母 (e^x - 1)(x+2) → (e^{-2} - 1) * 0 = 0，因此 f(x) → ∞，为无穷间断点（第二类）。
提示：非零常数除以零趋于无穷大。
步骤 4/5
目标：判断 x=1 的类型
当 x→1 时，分子 ln|1-x| → -∞，分母 (e^x - 1)(x+2) → (e-1)*3 ≠ 0，因此 f(x) → -∞，为无穷间断点（第二类）。
提示：注意 ln|1-x| 在 x=1 附近趋于负无穷。
步骤 5/5
目标：统计第二类间断点个数
x=-2 和 x=1 均为第二类间断点，共 2 个。
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