kaoyan1basic 高等数学 第22题
📝 题目
### 【强化篇】第22题（填空题） 22．若二次多项式 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内与 $g(x)=\sec x$ 的差为 $x^{2}$ 的高阶无穷小，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle 1+\frac{x^{2}}{2}$ **解析**：$\displaystyle g(x)=\sec x=1+\frac{x^{2}}{2}+\frac{5x^{4}}{24}+o(x^{4})$。二次多项式$f(x)=a+bx+cx^{2}$，与$g(x)$的差为$o(x^{2})$，即$f(x)-g(x)=o(x^{2})$。故$f(0)=g(0)=1$，$f'(0)=g'(0)=0$，$f''(0)=g''(0)=1$，所以$\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{2}x^{2}$。 **解析**：由题意，$f(x)$为$g(x)$在$x=0$处的二阶泰勒多项式，$g(0)=1$，$g'(0)=0$，$g''(0)=1$，故$\displaystyle f(x)=1+\frac{x^{2}}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：理解题意，确定f(x)是g(x)在x=0处的二阶泰勒多项式
由题意，f(x)是二次多项式，且f(x)-g(x)=o(x^2)，即f(x)与g(x)在x=0处有相同的函数值、一阶导数和二阶导数。因此f(x)是g(x)在x=0处的二阶泰勒多项式。
公式：f(x)-g(x)=o(x^2) ⇒ f(0)=g(0), f'(0)=g'(0), f''(0)=g''(0)
提示：高阶无穷小意味着前几阶导数相等
步骤 2/3
目标：计算g(x)=sec x在x=0处的函数值、一阶导数和二阶导数
g(0)=sec0=1；g'(x)=sec x tan x，g'(0)=0；g''(x)=sec x (tan^2 x + sec^2 x)，g''(0)=1。
公式：g(0)=1, g'(0)=0, g''(0)=1
提示：sec x的导数公式：d/dx sec x = sec x tan x
步骤 3/3
目标：写出f(x)的表达式
设f(x)=a+bx+cx^2，由f(0)=a=1，f'(0)=b=0，f''(0)=2c=1得c=1/2，所以f(x)=1 + x^2/2。
公式：f(x)=f(0)+f'(0)x+ (f''(0)/2!) x^2
提示：二次多项式的一般形式，利用导数条件确定系数
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