kaoyan1basic 高等数学 第23题
📝 题目
### 【基础篇】第23题（选择题） 23．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{x+\mathrm{e}^{t x}}{1+\mathrm{e}^{t x}}$ ，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的 ． （A）可去间断点 （B）跳跃间断点 （C）振荡间断点 （D）无穷间断点
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：$\displaystyle f(x)=\lim_{t\to+\infty}\frac{x+\mathrm{e}^{tx}}{1+\mathrm{e}^{tx}}$。当$x>0$时，$\mathrm{e}^{tx}\to+\infty$，分子分母同除$\mathrm{e}^{tx}$得$\displaystyle f(x)=\lim_{t\to+\infty}\frac{x\mathrm{e}^{-tx}+1}{\mathrm{e}^{-tx}+1}=1$。当$x=0$时，$\displaystyle f(0)=\lim_{t\to+\infty}\frac{0+1}{1+1}=\frac{1}{2}$。当$x<0$时，$\mathrm{e}^{tx}\to0$，$\displaystyle f(x)=\frac{x+0}{1+0}=x$。故$\displaystyle f(x)=\begin{cases}1, & x>0 \\ \frac{1}{2}, & x=0 \\ x, & x<0\end{cases}$，在$x=0$处左极限为0，右极限为1，跳跃间断点。 **解析**：分段讨论极限，得$f(x)$在$x=0$处左极限0，右极限1，跳跃间断点。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析x>0时f(x)的极限
当x>0时，t→+∞，e^{tx}→+∞，分子分母同除以e^{tx}，得f(x)=lim_{t→+∞} (x e^{-tx}+1)/(e^{-tx}+1)=1。
公式：f(x)=lim_{t→+∞} (x e^{-tx}+1)/(e^{-tx}+1)=1
提示：注意x>0时e^{tx}趋于无穷大，需同除e^{tx}处理。
步骤 2/4
目标：分析x=0时f(x)的值
当x=0时，f(0)=lim_{t→+∞} (0+e^{0})/(1+e^{0})=lim_{t→+∞} 1/2=1/2。
公式：f(0)=1/2
提示：直接代入x=0计算。
步骤 3/4
目标：分析x<0时f(x)的极限
当x<0时，t→+∞，e^{tx}→0，故f(x)=lim_{t→+∞} (x+0)/(1+0)=x。
公式：f(x)=x
提示：注意x<0时e^{tx}趋于0。
步骤 4/4
目标：写出分段函数并判断间断点类型
综合得f(x)=1 (x>0), 1/2 (x=0), x (x<0)。计算左极限lim_{x→0^-} f(x)=0，右极限lim_{x→0^+} f(x)=1，左右极限存在但不相等，故x=0为跳跃间断点。
公式：左极限=0，右极限=1
提示：跳跃间断点定义：左右极限存在但不相等。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。