kaoyan1basic 高等数学 第23题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第23题（选择题） 23．当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\displaystyle \mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 与 $\displaystyle \frac{c}{n^{k}}$ 为等价无穷小，则 ． $\displaystyle (\mathrm{A})_{c}=\frac{\mathrm{c}}{3}, k \approx 2$ （B）$\displaystyle c=\frac{c}{2}, k=2$ （C）$\displaystyle c=\frac{c}{3}, k=1$ （D）$\displaystyle c=\frac{\mathrm{e}}{2}, k=1$

💡 答案解析

**答案**：A **解析**：$\displaystyle \mathrm{e}-(1+\frac{1}{n})^{n}$，令$\displaystyle x=\frac{1}{n}$，则$\displaystyle (1+x)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}\ln(1+x)}=\mathrm{e}^{1-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{3}+o(x^{2})}=\mathrm{e}\cdot\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{3}+o(x^{2})}=\mathrm{e}(1-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{3}+\frac{1}{2}(-\frac{x}{2})^{2}+o(x^{2}))=\mathrm{e}(1-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{3}+\frac{x^{2}}{8}+o(x^{2}))=\mathrm{e}(1-\frac{x}{2}+\frac{11}{24}x^{2}+o(x^{2}))$。故$\displaystyle \mathrm{e}-(1+\frac{1}{n})^{n}=\mathrm{e}-\mathrm{e}(1-\frac{1}{2n}+\frac{11}{24n^{2}}+o(\frac{1}{n^{2}}))=\frac{\mathrm{e}}{2n}-\frac{11\mathrm{e}}{24n^{2}}+o(\frac{1}{n^{2}})$，与$\displaystyle \frac{c}{n^{k}}$等价，则$k=1$，$\displaystyle c=\frac{\mathrm{e}}{2}$。但选项A写$\displaystyle c=\frac{\mathrm{c}}{3}, k\approx2$，有误。实际应为$\displaystyle c=\frac{\mathrm{e}}{2}, k=1$，对应选项D？但D写$\displaystyle c=\frac{\mathrm{e}}{2}, k=1$，故选D。但题目中选项A写$\displaystyle c=\frac{\mathrm{c}}{3}, k\approx2$，B写$\displaystyle c=\frac{c}{2}, k=2$，C写$\displaystyle c=\frac{c}{3}, k=1$，D写$\displaystyle c=\frac{\mathrm{e}}{2}, k=1$，故D正确。 **解析**：利用泰勒展开，$\displaystyle (1+\frac{1}{n})^{n}=\mathrm{e}(1-\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n}))$，故$\displaystyle \mathrm{e}-(1+\frac{1}{n})^{n}\sim\frac{\mathrm{e}}{2n}$，所以$\displaystyle c=\frac{\mathrm{e}}{2}$，$k=1$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：将表达式转化为函数极限形式
令 $x = \frac{1}{n}$，则 $n \to \infty$ 对应 $x \to 0^+$，原式 $e - (1+\frac{1}{n})^n$ 变为 $e - (1+x)^{1/x}$。
提示：通过变量替换将数列极限转化为函数极限，便于使用泰勒展开。
步骤 2/4
目标：对 $(1+x)^{1/x}$ 进行泰勒展开
$(1+x)^{1/x} = e^{\frac{1}{x}\ln(1+x)}$，而 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$，所以 $\frac{1}{x}\ln(1+x) = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + o(x^2)$。于是 $(1+x)^{1/x} = e^{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + o(x^2)} = e \cdot e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + o(x^2)}$。再展开 $e^u = 1+u+\frac{u^2}{2}+o(u^2)$，其中 $u = -\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + o(x^2)$，得 $(1+x)^{1/x} = e\left[1 + \left(-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3}\right) + \frac{1}{2}\left(-\frac{x}{2}\right)^2 + o(x^2)\right] = e\left(1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + \frac{x^2}{8} + o(x^2)\right) = e\left(1 - \frac{x}{2} + \frac{11}{24}x^2 + o(x^2)\right)$。
公式：$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$，$e^u = 1+u+\frac{u^2}{2}+o(u^2)$
提示：注意展开到足够阶数，确保主项准确。
步骤 3/4
目标：计算 $e - (1+x)^{1/x}$ 的展开式
代入 $x = 1/n$，得 $e - (1+\frac{1}{n})^n = e - e\left(1 - \frac{1}{2n} + \frac{11}{24n^2} + o(\frac{1}{n^2})\right) = \frac{e}{2n} - \frac{11e}{24n^2} + o(\frac{1}{n^2})$。
提示：相减时注意符号。
步骤 4/4
目标：确定等价无穷小的阶数和系数
由展开式，当 $n \to \infty$ 时，$e - (1+\frac{1}{n})^n \sim \frac{e}{2n}$，即与 $\frac{c}{n^k}$ 等价时，$k=1$，$c = \frac{e}{2}$。
提示：等价无穷小取最低阶项。

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