kaoyan1basic 高等数学 第24题
📝 题目
### 【强化篇】第24题（选择题） 24．当 $x \rightarrow 0$ 时，$\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是非零且不相等的等价无穷小量，以下 4 个结论： $(1) \alpha(x)+\beta(x)=2 \alpha(x)$ ； （2）$\alpha(x)+\beta(x)=2 \beta(x) ;$
第1章 函数极限与连续 （3）$\alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))$ ； （4）$\alpha(x)-\beta(x)=o(\beta(x))$ ． 所有正确结论的序号是 ． （A）（1）（3） （C）（1）（2）（3）（4） （B）（3）（4） （D）（2）（4）
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：$\alpha(x)\sim\beta(x)$，即$\alpha(x)=\beta(x)+o(\beta(x))$。则$\alpha(x)+\beta(x)=2\beta(x)+o(\beta(x))$，不是等于$2\beta(x)$，故（1）（2）错误。$\alpha(x)-\beta(x)=o(\beta(x))$，且$o(\beta(x))=o(\alpha(x))$，故（3）（4）正确。 **解析**：由等价无穷小定义，$\alpha(x)-\beta(x)=o(\beta(x))=o(\alpha(x))$，故（3）（4）正确。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：理解等价无穷小的定义
由题意，α(x) ~ β(x) (x→0)，即 lim(α(x)/β(x)) = 1，因此 α(x) = β(x) + o(β(x))。
公式：α(x) = β(x) + o(β(x))
提示：等价无穷小意味着两者相差一个高阶无穷小。
步骤 2/3
目标：分析结论(1)和(2)
计算 α(x)+β(x) = [β(x)+o(β(x))] + β(x) = 2β(x) + o(β(x))，所以 α(x)+β(x) 不等于 2β(x) 或 2α(x)，因为 o(β(x)) 不能忽略。故(1)(2)错误。
公式：α(x)+β(x) = 2β(x) + o(β(x))
提示：等价无穷小替换时，加减运算中不能随意替换，除非是乘积形式。
步骤 3/3
目标：分析结论(3)和(4)
计算 α(x)-β(x) = [β(x)+o(β(x))] - β(x) = o(β(x))。由于 α(x) ~ β(x)，o(β(x)) = o(α(x))，所以 α(x)-β(x) = o(α(x)) = o(β(x))，故(3)(4)正确。
公式：α(x)-β(x) = o(β(x)) = o(α(x))
提示：高阶无穷小在等价无穷小下可以相互转化。
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