kaoyan1basic 高等数学 第25题
📝 题目
### 【强化篇】第25题（选择题） 25．当 $x \rightarrow 0$ 时，$(3+2 \tan x)^{x}-3^{x}$ 是 $\displaystyle 3 \sin ^{2} x+x^{3} \cos \frac{1}{x}$ 的（ ． （A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）等价无穷小 （D）同阶但非等价无穷小
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：$x\to0$时，$\displaystyle (3+2\tan x)^{x}-3^{x}=3^{x}[(1+\frac{2}{3}\tan x)^{x}-1]$。$3^{x}\to1$，$\displaystyle (1+\frac{2}{3}\tan x)^{x}=\mathrm{e}^{x\ln(1+\frac{2}{3}\tan x)}$，$\displaystyle \ln(1+\frac{2}{3}\tan x)\sim\frac{2}{3}x$，故指数$\displaystyle \sim\frac{2}{3}x^{2}$，所以$\displaystyle (1+\frac{2}{3}\tan x)^{x}-1\sim\frac{2}{3}x^{2}$，故原式$\displaystyle \sim\frac{2}{3}x^{2}$。分母$\displaystyle 3\sin^{2}x+x^{3}\cos\frac{1}{x}\sim3x^{2}+o(x^{2})$，故比值为$\displaystyle \frac{2}{3}x^{2}/(3x^{2})=\frac{2}{9}$，同阶非等价。 **解析**：分子等价于$\displaystyle \frac{2}{3}x^{2}$，分母等价于$3x^{2}$，比值为常数$\displaystyle \frac{2}{9}$，同阶非等价。 **难度**：★★★☆☆