kaoyan1basic 高等数学 第26题

**答案**：D **解析**：比较各选项无穷小的阶数。A：$\displaystyle \int_{0}^{\sin x}(1+t)^{\frac{2}{t}}\mathrm{d}t$，当$t\to0$时，$\displaystyle (1+t)^{\frac{2}{t}}=\mathrm{e}^{\frac{2}{t}\ln(1+t)}\sim\mathrm{e}^{2}$，故被积函数趋于常数，积分上限$\sin x\sim x$，故A~$\mathrm{e}^{2}x$，阶数为1。B：$\int_{0}^{\ln(1+x^{2})}\sqrt{\cos^{3}t}\mathrm{d}t$，上限$\ln(1+x^{2})\sim x^{2}$，被积函数在0附近$\sqrt{\cos^{3}t}\sim1$，故B~$x^{2}$，阶数为2。C：$\int_{0}^{x}(\mathrm{e}^{\cos t}-\mathrm{e}^{\sin t})\mathrm{d}t$，被积函数$\mathrm{e}^{\cos t}-\mathrm{e}^{\sin t}=\mathrm{e}^{\sin t}(\mathrm{e}^{\cos t-\sin t}-1)$，$\displaystyle \cos t-\sin t\sim1-t-\frac{t^{2}}{2}-(t-\frac{t^{3}}{6})=1-2t-\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{6}$，在$t=0$处为1，故$\mathrm{e}^{\cos t-\sin t}-1\sim \cos t-\sin t-1$，但$\cos t-\sin t-1\sim -t$，故被积函数$\sim \mathrm{e}^{1}\cdot(-t)$，积分得$\displaystyle -\mathrm{e}^{1}\frac{x^{2}}{2}$，阶数为2。D：$\int_{0}^{x-\tan x}\arctan t\mathrm{d}t$，上限$\displaystyle x-\tan x\sim -\frac{x^{3}}{3}$，被积函数$\arctan t\sim t$，故积分$\displaystyle \sim \int_{0}^{-\frac{x^{3}}{3}}t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}(-\frac{x^{3}}{3})^{2}=\frac{x^{6}}{18}$，阶数为6。故阶数最高的是D。 **解析**：分别估计各无穷小的阶数，A为1阶，B为2阶，C为2阶，D为6阶，故D最高。 **难度**：★★★★☆