kaoyan1basic 高等数学 第27题
📝 题目
### 【强化篇】第27题（填空题） 27．当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=a x+b x^{2}+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=1-\cos x$ 是等价无穷小，则 $a b=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：由等价无穷小定义，$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。 步骤2：$\displaystyle g(x)=1-\cos x\sim\frac{1}{2}x^2$，$f(x)=ax+bx^2+\ln(1+x)$，将$\ln(1+x)$展开：$\displaystyle \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$。 步骤3：$\displaystyle f(x)=ax+bx^2+x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)=(a+1)x+(b-\frac{1}{2})x^2+o(x^2)$。 步骤4：与$\displaystyle \frac{1}{2}x^2$等价，则$x$项系数为0，即$a+1=0$，得$a=-1$；且$\displaystyle \frac{b-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1$，得$b=1$。 步骤5：$ab=(-1)\times1=-1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用等价无穷小定义列出极限等式
由等价无穷小定义，有 lim_{x→0} f(x)/g(x) = 1。
公式：\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1
提示：等价无穷小定义：若 lim α/β = 1，则 α 与 β 是等价无穷小。
步骤 2/4
目标：化简 g(x) 和 f(x) 的表达式
g(x)=1-cos x ~ 1/2 x^2；将 ln(1+x) 泰勒展开：ln(1+x)=x - x^2/2 + o(x^2)。代入 f(x) 得：f(x)=ax+bx^2 + x - x^2/2 + o(x^2) = (a+1)x + (b-1/2)x^2 + o(x^2)。
公式：1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2, \quad \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)
提示：常用等价无穷小：1-cos x ~ x^2/2；泰勒展开时注意保留到同阶。
步骤 3/4
目标：比较系数确定 a 和 b
由于 f(x) 与 g(x) 等价，即 f(x) ~ 1/2 x^2，所以 f(x) 中 x 项系数必须为 0，且 x^2 项系数与 1/2 的比值为 1。因此 a+1=0，得 a=-1；且 (b-1/2)/(1/2)=1，解得 b=1。
公式：a+1=0, \quad \frac{b-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1
提示：等价无穷小要求分子分母的最低阶项相同且系数比等于1。
步骤 4/4
目标：计算 ab
ab = (-1) × 1 = -1。
公式：ab = -1
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