kaoyan1basic 高等数学 第29题
📝 题目
### 【强化篇】第29题（选择题） 29．当 $x \rightarrow 0$ 时， $\ln (1+x)-\tan x$ 与 $a x^{b}$ 是等价无穷小，则 $(a, b)=()$ 。 （A）$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, 2\right)$ （B）$\displaystyle \left(\frac{1}{2}, 2\right)$ （C）$\displaystyle \left(-\frac{1}{3}, 3\right)$ （D）$\displaystyle \left(\frac{1}{3}, 3\right)$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$x\to0$时，$\displaystyle \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，$\displaystyle \tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$。 步骤2：$\displaystyle \ln(1+x)-\tan x=(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3})-(x+\frac{x^3}{3})+o(x^3)=-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$。 步骤3：与$ax^b$等价，则$b=2$，$\displaystyle a=-\frac{1}{2}$，对应选项C。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将ln(1+x)和tan x展开为泰勒级数
当x→0时，ln(1+x)=x - x^2/2 + x^3/3 + o(x^3)，tan x=x + x^3/3 + o(x^3)。
公式：ln(1+x)=x - x^2/2 + x^3/3 + o(x^3)；tan x=x + x^3/3 + o(x^3)
提示：注意展开到同阶，这里需要到x^3项，因为相减后x^3项可能抵消。
步骤 2/3
目标：计算ln(1+x)-tan x的展开式
ln(1+x)-tan x = (x - x^2/2 + x^3/3) - (x + x^3/3) + o(x^3) = -x^2/2 + o(x^2)。
公式：ln(1+x)-tan x = -x^2/2 + o(x^2)
提示：注意x项和x^3项抵消，留下x^2项。
步骤 3/3
目标：确定等价无穷小的阶数和系数
由等价无穷小定义，ln(1+x)-tan x ~ a x^b，比较得b=2，a=-1/2。
公式：若f(x)~a x^b，则b为最低阶幂次，a为系数
提示：等价无穷小要求比值的极限为1，这里直接比较展开式。
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