kaoyan1basic 高等数学 第30题
📝 题目
### 【强化篇】第30题（选择题） 30．当 $x \rightarrow 0$ 时，$x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) \sim a x^{b}$ ，则 $a, b$ 的值分别是 ． （A）$\displaystyle \frac{1}{6}, 3$ （B）$\displaystyle \frac{1}{6}, 2$ （C）$\displaystyle \frac{1}{3}, 2$ （D）$\displaystyle \frac{1}{3}, 3$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$x-\ln(x+\sqrt{1+x^2})$，令$y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$，其展开：$\displaystyle \ln(x+\sqrt{1+x^2})=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$。 步骤2：$\displaystyle x-(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))=\frac{x^3}{6}+o(x^3)$。 步骤3：与$ax^b$等价，则$b=3$，$\displaystyle a=\frac{1}{6}$，对应选项A。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将函数展开为幂级数形式
令 y = ln(x + √(1+x^2))，利用反双曲正弦函数的泰勒展开：ln(x + √(1+x^2)) = x - x^3/6 + o(x^3)。
公式：ln(x + √(1+x^2)) = x - x^3/6 + o(x^3)
提示：记住常见函数的泰勒展开式，尤其是反双曲正弦的展开。
步骤 2/3
目标：计算差值并化简
计算 x - ln(x + √(1+x^2)) = x - (x - x^3/6 + o(x^3)) = x^3/6 + o(x^3)。
公式：x - ln(x + √(1+x^2)) = x^3/6 + o(x^3)
提示：注意高阶无穷小量的处理。
步骤 3/3
目标：确定等价无穷小的系数和指数
由 x - ln(x + √(1+x^2)) ~ (1/6)x^3，得 a = 1/6，b = 3。
公式：x - ln(x + √(1+x^2)) ~ (1/6)x^3
提示：等价无穷小中，a 是系数，b 是指数。
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