kaoyan1basic 高等数学 第31题
📝 题目
### 【强化篇】第31题（选择题） 31．当 $x \rightarrow 0$ 时， $\arcsin x-x$ 与 $a x^{b}$ 是等价无穷小，则 $(a, b)=$ ． （A）$\displaystyle \left(-\frac{1}{6}, 2\right)$ （B）$\displaystyle \left(\frac{1}{6}, 2\right)$ （C）$\displaystyle \left(-\frac{1}{6}, 3\right)$ （D）$\displaystyle \left(\frac{1}{6}, 3\right)$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$\displaystyle \arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$。 步骤2：$\displaystyle \arcsin x-x=\frac{x^3}{6}+o(x^3)$。 步骤3：与$ax^b$等价，则$b=3$，$\displaystyle a=\frac{1}{6}$，对应选项D。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将arcsin x展开为泰勒级数
当x→0时，arcsin x = x + x^3/6 + o(x^3)。
公式：arcsin x = x + x^3/6 + o(x^3)
提示：常用泰勒展开式，注意展开到x^3项即可。
步骤 2/3
目标：计算arcsin x - x
代入展开式得：arcsin x - x = (x + x^3/6 + o(x^3)) - x = x^3/6 + o(x^3)。
公式：arcsin x - x = x^3/6 + o(x^3)
提示：消去x项，保留x^3项。
步骤 3/3
目标：与ax^b比较，确定参数
由于arcsin x - x与ax^b是等价无穷小，所以b=3，且a=1/6。
公式：等价无穷小：lim_{x→0} (arcsin x - x)/(ax^b) = 1
提示：等价无穷小要求比值的极限为1，因此指数和系数需匹配。
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