kaoyan1basic 高等数学 第32题
📝 题目
### 【强化篇】第32题（解答题） 32．设函数 $f(x)=x-[x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：$f(x)=x-[x]$，周期为1，在$[0,1)$上$f(x)=x$。 步骤2：$\int_0^x f(t)dt$，设$x=n+\alpha$，$n=[x]$，$0\leq\alpha<1$，则$\displaystyle \int_0^x f(t)dt=n\int_0^1 t dt+\int_0^\alpha t dt=n\cdot\frac{1}{2}+\frac{\alpha^2}{2}$。 步骤3：$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n}{2}+\frac{\alpha^2}{2}}{n+\alpha}=\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析函数f(x)的性质
f(x)=x-[x]是周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)=x。
提示：注意取整函数的定义
步骤 2/3
目标：将积分区间分解为整数个周期和一个余项
设x=n+α，其中n=[x]为整数，0≤α<1。则∫_0^x f(t)dt = n∫_0^1 t dt + ∫_0^α t dt = n·1/2 + α^2/2。
公式：∫_0^1 t dt = 1/2
提示：利用周期性简化积分
步骤 3/3
目标：计算极限
lim_{x→+∞} (1/x)∫_0^x f(t)dt = lim_{n→∞} (n/2 + α^2/2)/(n+α) = 1/2。
公式：lim_{n→∞} (n/2)/(n) = 1/2
提示：α有界，故α^2/2和α相对于n可忽略
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