kaoyan1basic 高等数学 第33题
📝 题目
### 【强化篇】第33题（选择题） 33．设函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ 在 $x=0$ 处的 2 次泰勒多项式为 $a+b x+c x^{2}$ ，则 ）． （A）$a=1, b=1, c=1$ （B）$\displaystyle a=1, b=1, c=\frac{1}{2}$ （C）$\displaystyle a=0, b=-1, c=\frac{1}{2}$ （D）$a=0, b=-1, c=1$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=(1+x)^{\frac{1}{2}}(1-x)^{-\frac{1}{2}}$。 步骤2：展开：$\displaystyle (1+x)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o(x^2)$，$\displaystyle (1-x)^{-\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2+o(x^2)$。 步骤3：相乘得$\displaystyle f(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+o(x^2)$，故$\displaystyle a=1,b=1,c=\frac{1}{2}$，对应选项B。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将函数化为幂乘积形式
将 f(x) = √((1+x)/(1-x)) 写成 (1+x)^(1/2) * (1-x)^(-1/2)。
公式：f(x) = (1+x)^{1/2} (1-x)^{-1/2}
提示：利用指数形式简化乘积运算。
步骤 2/4
目标：分别展开两个因子到二阶
利用二项式展开：(1+x)^(1/2) = 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 + o(x^2)，(1-x)^(-1/2) = 1 + (1/2)x + (3/8)x^2 + o(x^2)。
公式：(1+u)^α = 1 + αu + α(α-1)/2 u^2 + o(u^2)
提示：注意 (1-x)^(-1/2) 中 u = -x，代入公式时要小心符号。
步骤 3/4
目标：将两个展开式相乘并合并同类项
将两个展开式相乘，忽略高阶无穷小：f(x) = [1 + (1/2)x - (1/8)x^2] * [1 + (1/2)x + (3/8)x^2] + o(x^2) = 1 + x + (1/2)x^2 + o(x^2)。
公式：乘法分配律
提示：只保留到 x^2 项，更高阶项归入 o(x^2)。
步骤 4/4
目标：确定泰勒多项式系数
由展开式 f(x) = 1 + x + (1/2)x^2 + o(x^2) 得 a=1, b=1, c=1/2。
公式：f(x) = a + bx + cx^2 + o(x^2)
提示：比较系数即可。
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