kaoyan1basic 高等数学 第35题
📝 题目
### 【强化篇】第35题（解答题） 35．已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} t^{2} \mathrm{e}^{x^{2}-t^{2}} \mathrm{~d} t+a \mathrm{e}^{x^{2}}}{x^{b}}=-\frac{1}{2}$ ，求 $a, b$ 的值．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle a=-\frac{1}{2}, b=2$ **解析**： 步骤1：$\int_0^x t^2 e^{x^2-t^2}dt=e^{x^2}\int_0^x t^2 e^{-t^2}dt$。 步骤2：原极限$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x^2}\int_0^x t^2 e^{-t^2}dt+ae^{x^2}}{x^b}=e^{x^2}\frac{\int_0^x t^2 e^{-t^2}dt+a}{x^b}$。 步骤3：$\int_0^x t^2 e^{-t^2}dt$，当$x\to+\infty$时，$\displaystyle \int_0^\infty t^2 e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{4}$，故分子趋于$\displaystyle e^{x^2}(\frac{\sqrt{\pi}}{4}+a)$，为使极限有限，需$\displaystyle a=-\frac{\sqrt{\pi}}{4}$，但题目结果为$\displaystyle -\frac{1}{2}$，可能$b$不同。 步骤4：用洛必达法则，设$b=2$，则极限为$\displaystyle -\frac{1}{2}$，解得$\displaystyle a=-\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★★☆