kaoyan1basic 高等数学 第36题
📝 题目
### 【强化篇】第36题（选择题） 36．设函数 $f(x)$ 满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x-1}-1}=1$ ，则 ． （A）$f(1)=0$ （B） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ （C）$f^{\prime}(1)=0$ （D） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=1$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)}{e^{x-1}-1}=1$，分母$e^{x-1}-1\to0$，则分子$f(x)\to0$。 步骤2：故$\lim_{x\to1}f(x)=0$，对应选项B。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：分析极限条件，推断分子极限
由极限 \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{e^{x-1}-1}=1\)，分母 \(e^{x-1}-1 \to 0\)，若分子 \(f(x)\) 不趋于0，则极限不存在或为无穷，与极限为1矛盾，故分子必须趋于0，即 \(\lim_{x \to 1} f(x)=0\)。
公式：\lim_{x \to 1} (e^{x-1}-1)=0
提示：注意分母趋于0时，分子必须也趋于0才能得到有限非零极限。
步骤 2/2
目标：确定正确选项
由 \(\lim_{x \to 1} f(x)=0\) 可知选项B正确。选项A需要 \(f(1)=0\)，但极限存在不一定函数值存在或等于极限；选项C需要导数信息，无法从极限得出；选项D与结论矛盾。
提示：区分函数极限与函数值，极限存在不一定函数在该点有定义或等于函数值。
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