kaoyan1basic 高等数学 第37题
📝 题目
### 【强化篇】第37题（选择题） 37．设 $g(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}-2 x+1}}$ ，则 ． （A） $\lim _{x \rightarrow 1} g(x)$ 不存在 （B） $\lim _{x \rightarrow 1} g(x)$ 存在，但在 $x=1$ 处 $g(x)$ 不连续 （C）在 $x=1$ 处 $g(x)$ 导数存在 （D）在 $x=1$ 处 $g(x)$ 连续，但不可导
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$g(x)=e^{\sqrt{x^2-2x+1}}=e^{|x-1|}$。 步骤2：$\lim_{x\to1}g(x)=e^0=1$，存在且等于$g(1)=1$，故连续。 步骤3：左导数$\displaystyle \lim_{x\to1^-}\frac{e^{1-x}-1}{x-1}=-1$，右导数$\displaystyle \lim_{x\to1^+}\frac{e^{x-1}-1}{x-1}=1$，左右导数不等，不可导。 步骤4：对应选项D。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简函数表达式
将 $g(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}-2 x+1}}$ 化简为 $g(x)=\mathrm{e}^{|x-1|}$，因为 $\sqrt{x^2-2x+1}=\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$。
公式：$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$
提示：注意根号下完全平方后要取绝对值。
步骤 2/4
目标：判断连续性
计算极限 $\lim_{x\to 1}g(x)=\lim_{x\to 1}\mathrm{e}^{|x-1|}=\mathrm{e}^0=1$，且 $g(1)=\mathrm{e}^{|1-1|}=\mathrm{e}^0=1$，因此极限存在且等于函数值，故 $g(x)$ 在 $x=1$ 处连续。
公式：$\lim_{x\to 1}\mathrm{e}^{|x-1|}=\mathrm{e}^0=1$
提示：连续的定义：极限值等于函数值。
步骤 3/4
目标：判断可导性
计算左导数：$\lim_{x\to 1^-}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^-}\frac{\mathrm{e}^{1-x}-1}{x-1}$，令 $t=1-x$，则 $t\to 0^+$，原式 $=\lim_{t\to 0^+}\frac{\mathrm{e}^t-1}{-t}=-1$。
计算右导数：$\lim_{x\to 1^+}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{\mathrm{e}^{x-1}-1}{x-1}=1$。左右导数不相等，故不可导。
公式：左导数 $=-1$，右导数 $=1$
提示：利用等价无穷小 $\mathrm{e}^u-1\sim u$ 简化极限。
步骤 4/4
目标：选择正确选项
根据以上分析，$g(x)$ 在 $x=1$ 处连续但不可导，对应选项 D。
提示：注意区分连续与可导的关系。
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