kaoyan1basic 高等数学 第38题
📝 题目
### 【强化篇】第38题（解答题） 38．若 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1+x^{2}+x^{3}+o\left(x^{3}\right)(x \rightarrow 0), g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x}{f(x)-f(0)}, & x \neq 0, \\ a, & x=0,\end{array}\right.$ 且 $g(x)$ 连续． （1）求 $a$ 的值； （2）当 $x \rightarrow 0$ 时，计算 $g(x)$ 到 3 阶的带佩亚诺余项的泰勒公式。
💡 答案解析
**答案**：（1）$a=1$；（2）$g(x)=1-x^2-x^3+o(x^3)$ **解析**： （1）步骤1：$f'(x)=1+x^2+x^3+o(x^3)$，积分得$\displaystyle f(x)-f(0)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+o(x^4)$。 步骤2：$\displaystyle g(x)=\frac{x}{f(x)-f(0)}=\frac{x}{x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+o(x^4)}=\frac{1}{1+\frac{x^2}{3}+\frac{x^3}{4}+o(x^3)}$。 步骤3：$x\to0$时，$g(x)\to1$，由连续性得$a=1$。 （2）步骤4：展开$\displaystyle \frac{1}{1+u}=1-u+u^2-u^3+o(u^3)$，其中$\displaystyle u=\frac{x^2}{3}+\frac{x^3}{4}+o(x^3)$。 步骤5：$\displaystyle g(x)=1-(\frac{x^2}{3}+\frac{x^3}{4})+(\frac{x^2}{3})^2+o(x^3)=1-\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+o(x^3)$。 **难度**：★★★☆☆