kaoyan1basic 高等数学 第39题
📝 题目
### 【强化篇】第39题（选择题） 39．下面结论正确的是（ ）。 （A）设 $u=f(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，而 $v=g(x)$ 在 $x_{0}$ 处不连续，则函数 $y=f(x) g(x)$ 在 $x_{0}$ 处一定不连续 （B）设 $u=f(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，而 $v=g(x)$ 在 $x_{0}$ 处不连续，则函数 $y=f(x)+g(x)$ 在 $x_{0}$ 处一定不连续 （C）设 $u=f(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，而 $v=g(u)$ 在 $u_{0}=f\left(x_{0}\right)$ 处不连续，则复合函数 $y=g[f(x)]$在 $x_{0}$ 处一定不连续 （D）以上选项均不正确
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：选项A反例：$f(x)=0$连续，$g(x)$不连续，乘积恒为0连续。 步骤2：选项B正确：若$f+g$连续，则$g=(f+g)-f$连续，矛盾。 步骤3：选项C反例：$f(x)=0$连续，$g(u)$在0处不连续，但复合$g(f(x))=g(0)$常数连续。 步骤4：对应选项B。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析选项A的正确性
考虑反例：令f(x)=0（连续），g(x)在x0处不连续，则乘积f(x)g(x)=0恒为常数，在x0处连续，因此选项A错误。
提示：注意乘积可能因其中一个因子恒为零而连续。
步骤 2/4
目标：分析选项B的正确性
假设f+g在x0处连续，由于f连续，则g=(f+g)-f在x0处连续，与g不连续矛盾，因此f+g一定不连续，选项B正确。
公式：连续函数的线性组合仍连续
提示：利用反证法，由连续函数的差仍连续推出矛盾。
步骤 3/4
目标：分析选项C的正确性
考虑反例：令f(x)=0（连续），g(u)在u0=0处不连续，但复合函数g(f(x))=g(0)为常数，在x0处连续，因此选项C错误。
提示：复合函数可能因内层函数取常数值而连续。
步骤 4/4
目标：得出结论
选项A、C均有反例，选项B正确，因此选B。
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