kaoyan1basic 高等数学 第40题
📝 题目
### 【强化篇】第40题（解答题） 40．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n+1}+(\cos \pi x+1) \sin \alpha x}{x^{n}+(\cos \pi x+1)}$ ，为使 $f(x)$ 对于一切 $x$ 都连续，求常数 $\alpha$ 的最小正值．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^{n+1}+(\cos\pi x+1)\sin\alpha x}{x^n+(\cos\pi x+1)}$，分$|x|<1$，$|x|>1$，$x=1$，$x=-1$讨论。 步骤2：$|x|<1$时，$x^n\to0$，$\displaystyle f(x)=\frac{0+(\cos\pi x+1)\sin\alpha x}{0+(\cos\pi x+1)}=\sin\alpha x$。 步骤3：$|x|>1$时，分子分母同除$x^n$，$f(x)=x$。 步骤4：$x=1$时，$\displaystyle f(1)=\frac{1+(\cos\pi+1)\sin\alpha}{1+(\cos\pi+1)}=\frac{1+0}{1+0}=1$；左极限$\lim_{x\to1^-}\sin\alpha x=\sin\alpha$，右极限$\lim_{x\to1^+}x=1$，需$\sin\alpha=1$，得$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{2}+2k\pi$，最小正值为$\displaystyle \frac{\pi}{2}$。 步骤5：$x=-1$时类似，需$\sin(-\alpha)=-1$，得$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{2}+2k\pi$，一致。故最小正$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{2}$，但题目中$\alpha$为常数，答案写$\displaystyle \frac{1}{2}$可能指$\displaystyle \frac{\pi}{2}$的数值？按常见答案$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$（弧度制？），实际应为$\displaystyle \frac{\pi}{2}$。 **难度**：★★★★☆