kaoyan1basic 高等数学 第41题
📝 题目
### 【强化篇】第41题（选择题） 41．设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\cos x}$ 在 $x=0$ 处的 3 次泰勒多项式为 $a x+b x^{2}+c x^{3}$ ，则（）。 （A）$\displaystyle a=1, b=0, c=\frac{1}{2}$ （B）$\displaystyle a=0, b=1, c=\frac{1}{2}$ （C）$\displaystyle a=0, b=\frac{1}{2}, c=1$ （D）$\displaystyle a=\frac{1}{2}, b=1, c=0$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\cos x}=x\cdot\sec x$，$\displaystyle \sec x=1+\frac{x^2}{2}+o(x^3)$。 步骤2：$\displaystyle f(x)=x(1+\frac{x^2}{2}+o(x^3))=x+\frac{x^3}{2}+o(x^3)$。 步骤3：泰勒多项式为$\displaystyle x+0\cdot x^2+\frac{1}{2}x^3$，故$\displaystyle a=1,b=0,c=\frac{1}{2}$，对应选项A。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将函数表示为x乘以sec x的形式
由f(x)=x/cos x，得f(x)=x·sec x。
公式：sec x = 1/cos x
提示：利用sec x的定义简化表达式。
步骤 2/4
目标：写出sec x的泰勒展开式
sec x在x=0处的泰勒展开为sec x = 1 + x^2/2 + o(x^3)。
公式：sec x = 1 + x^2/2 + o(x^3)
提示：记住常见函数的泰勒展开式。
步骤 3/4
目标：计算f(x)的泰勒展开
将sec x的展开代入f(x)=x·sec x，得f(x)=x(1 + x^2/2 + o(x^3)) = x + x^3/2 + o(x^3)。
公式：f(x) = x + x^3/2 + o(x^3)
提示：注意x乘以o(x^3)仍为o(x^3)。
步骤 4/4
目标：确定泰勒多项式的系数
3次泰勒多项式为x + 0·x^2 + (1/2)x^3，因此a=1, b=0, c=1/2。
提示：比较多项式系数。
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