kaoyan1basic 高等数学 第42题
📝 题目
### 【强化篇】第42题（选择题） 42．$\displaystyle f(x)=\frac{|\ln | x| |}{x^{2}-1}$ 有（ ）． （A）两个跳跃间断点，一个无穷间断点 （B）两个可去间断点，一个无穷间断点 （C）一个可去间断点，一个跳跃间断点，一个无穷间断点 （D）三个无穷间断点
## 第2章 数列极限
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$\displaystyle f(x)=\frac{|\ln|x||}{x^2-1}$，间断点为$x=0,\pm1$。 步骤2：$x=0$处，$\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{|\ln|x||}{x^2-1}=0$，为可去间断点。 步骤3：$x=1$处，$\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}\frac{|\ln x|}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\to1}\frac{|\ln(1+(x-1))|}{(x-1)(x+1)}=\frac12$，为可去间断点。 步骤4：$x=-1$处，$\displaystyle \lim_{x\to-1}f(x)=\lim_{x\to-1}\frac{|\ln|x||}{x^2-1}=\infty$，为无穷间断点。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：找出所有间断点
函数 f(x)=|ln|x||/(x^2-1) 的间断点出现在分母为零或绝对值内为零的点，即 x=0, x=1, x=-1。
提示：注意绝对值内为零的点也是可能的间断点。
步骤 2/4
目标：判断 x=0 处的间断点类型
计算极限：lim_{x→0} f(x) = lim_{x→0} |ln|x||/(x^2-1) = 0/(0-1)=0，极限存在且为0，但函数在x=0处无定义，故为可去间断点。
公式：lim_{x→0} |ln|x|| = 0
提示：注意 ln|x| 在 x→0 时趋于 -∞，但绝对值后趋于 +∞，但分母趋于 -1，所以极限为0。
步骤 3/4
目标：判断 x=1 处的间断点类型
计算极限：lim_{x→1} f(x) = lim_{x→1} |ln x|/(x^2-1) = lim_{x→1} ln x/((x-1)(x+1))。利用等价无穷小 ln(1+(x-1)) ~ x-1，得 lim_{x→1} (x-1)/((x-1)(x+1)) = 1/2，极限存在，故为可去间断点。
公式：ln(1+u) ~ u (u→0)
提示：注意 x→1 时 ln x > 0，绝对值可去掉。
步骤 4/4
目标：判断 x=-1 处的间断点类型
计算极限：lim_{x→-1} f(x) = lim_{x→-1} |ln|x||/(x^2-1)。当 x→-1 时，|ln|x|| → ln1=0，但分母 x^2-1 → 0，且分母符号变化，但绝对值导致极限为无穷大，故为无穷间断点。
提示：注意 x→-1 时，|ln|x|| 趋于0，但分母趋于0，且不为0，所以极限为无穷。
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