kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（选择题） 1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1}\right)^{n}=$ ． （A） $\displaystyle \mathrm{e}^{-\frac{2}{\pi}}$ （B）$\displaystyle e^{-\frac{\pi}{2}}$ （C）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ （D）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{4}{\pi}\arctan\frac{n}{n+1}\right)^n$，先取对数：$\displaystyle \ln L=\lim_{n\to\infty}n\ln\left(\frac{4}{\pi}\arctan\frac{n}{n+1}\right)$。 步骤2：$\displaystyle \arctan\frac{n}{n+1}\to\arctan1=\frac{\pi}{4}$，令$\displaystyle t=\frac{1}{n}$，则$\displaystyle \ln L=\lim_{t\to0^+}\frac{\ln\left(\frac{4}{\pi}\arctan\frac{1}{1+t}\right)}{t}$。 步骤3：$\displaystyle \arctan\frac{1}{1+t}=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}t+o(t)$，故$\displaystyle \frac{4}{\pi}\arctan\frac{1}{1+t}=1-\frac{2}{\pi}t+o(t)$，$\displaystyle \ln\left(1-\frac{2}{\pi}t+o(t)\right)\sim-\frac{2}{\pi}t$，所以$\displaystyle \ln L=-\frac{2}{\pi}$，$\displaystyle L=e^{-\frac{2}{\pi}}$。 **难度**：★★★☆☆