kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $\displaystyle a_{n}=(n+3) \frac{1}{n+3}, n=1,2, \cdots$ ，则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是（ ）． （A）单增的 （B）单减的 （C）不单调的 （D）无界的
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$\displaystyle a_n=(n+3)^{\frac{1}{n+3}}$，考虑函数$\displaystyle f(x)=x^{\frac{1}{x}}$，$x>0$。 步骤2：$\displaystyle \ln f(x)=\frac{\ln x}{x}$，求导得$\displaystyle f'(x)=f(x)\cdot\frac{1-\ln x}{x^2}$，当$x>e$时$f'(x)<0$，$f(x)$递减。 步骤3：$n+3\geq4>e$，故$a_n$单减。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将数列通项转化为函数形式
设 a_n = (n+3)^{1/(n+3)}，考虑函数 f(x) = x^{1/x}，x > 0。
公式：a_n = (n+3)^{1/(n+3)}
提示：将离散的数列转化为连续函数，便于利用导数研究单调性。
步骤 2/3
目标：求函数导数并判断单调性
对 f(x) 取对数得 ln f(x) = (ln x)/x，求导得 f'(x) = f(x) * (1 - ln x)/x^2。当 x > e 时，1 - ln x < 0，故 f'(x) < 0，f(x) 单调递减。
公式：f'(x) = f(x) * (1 - ln x)/x^2
提示：注意 x > e 时导数小于零，函数递减。
步骤 3/3
目标：将自变量范围对应到数列
由于 n ≥ 1，n+3 ≥ 4 > e，因此 a_n = f(n+3) 单调递减。
提示：确保自变量在单调区间内。
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