kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（填空题） 2． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{99}}{n^{100}-(n-1)^{100}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{100}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^{99}}{n^{100}-(n-1)^{100}}$，分母用二项式展开：$(n-1)^{100}=n^{100}-100n^{99}+o(n^{99})$。 步骤2：分母$n^{100}-(n-1)^{100}=100n^{99}+o(n^{99})$。 步骤3：原式$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{99}}{100n^{99}+o(n^{99})}=\frac{1}{100}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将分母中的 (n-1)^100 展开
利用二项式定理展开 (n-1)^100 = n^100 - 100 n^99 + o(n^99)。
公式：(n-1)^100 = n^100 - 100 n^99 + o(n^99)
提示：注意展开到 n^99 项即可，因为分子是 n^99 阶。
步骤 2/3
目标：化简分母
分母 n^100 - (n-1)^100 = n^100 - (n^100 - 100 n^99 + o(n^99)) = 100 n^99 + o(n^99)。
公式：n^100 - (n-1)^100 = 100 n^99 + o(n^99)
提示：o(n^99) 表示比 n^99 高阶的无穷小。
步骤 3/3
目标：求极限
原式 = lim_{n→∞} n^99 / (100 n^99 + o(n^99)) = lim_{n→∞} 1 / (100 + o(1)) = 1/100。
公式：lim_{n→∞} n^99 / (100 n^99 + o(n^99)) = 1/100
提示：分子分母同除以 n^99，注意 o(n^99)/n^99 → 0。
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