kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $a_{n}$ 是方程 $x=\tan \sqrt{x}$ 在 $\displaystyle \left((n \pi)^{2},\left(n \pi+\frac{\pi}{2}\right)^{2}\right)(n=1,2, \cdots)$ 内的根，则 $\lim _{n+\infty}\left(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{n}}\right)=$ （ ）． （A） 0 （B）$\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ （C）$\sqrt{\pi}$ （D）$\pi$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$a_n$是$x=\tan\sqrt{x}$在$\displaystyle ((n\pi)^2,(n\pi+\frac{\pi}{2})^2)$内的根，则$\sqrt{a_n}=n\pi+\varepsilon_n$，其中$\displaystyle \varepsilon_n\in(0,\frac{\pi}{2})$。 步骤2：由$x=\tan\sqrt{x}$得$\sqrt{a_n}=\tan\sqrt{a_n}$，即$n\pi+\varepsilon_n=\tan(n\pi+\varepsilon_n)=\tan\varepsilon_n$，故$\tan\varepsilon_n=n\pi+\varepsilon_n$。 步骤3：$\displaystyle \varepsilon_n\to\frac{\pi}{2}^-$，故$\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}=[(n+1)\pi+\varepsilon_{n+1}]-(n\pi+\varepsilon_n)=\pi+(\varepsilon_{n+1}-\varepsilon_n)$，而$\varepsilon_{n+1}-\varepsilon_n\to0$，极限为$\pi$。 **难度**：★★★★☆