kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（填空题） 3．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 非负有界，$\displaystyle b_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{a_{n}+n^{2}}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{b_{n}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n\frac{k}{a_n+n^2}$，由于$a_n$非负有界，设$0\leq a_n\leq M$。 步骤2：$\displaystyle \frac{k}{M+n^2}\leq\frac{k}{a_n+n^2}\leq\frac{k}{n^2}$，求和得$\displaystyle \frac{n(n+1)}{2(M+n^2)}\leq b_n\leq\frac{n(n+1)}{2n^2}$。 步骤3：两边取极限，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)}{2(M+n^2)}=\frac12$，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac12$，由夹逼准则$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\frac12$，故$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出b_n的表达式并利用a_n的有界性进行放缩
由题，b_n = ∑_{k=1}^n k/(a_n + n^2)。由于a_n非负有界，设0 ≤ a_n ≤ M，则对每个k有：k/(M+n^2) ≤ k/(a_n+n^2) ≤ k/n^2。
公式：0 ≤ a_n ≤ M ⇒ k/(M+n^2) ≤ k/(a_n+n^2) ≤ k/n^2
提示：注意a_n与求和指标k无关，因此可以直接放缩分母。
步骤 2/4
目标：对不等式求和得到b_n的上下界
对k从1到n求和：∑_{k=1}^n k/(M+n^2) ≤ b_n ≤ ∑_{k=1}^n k/n^2。左边 = [n(n+1)/2] / (M+n^2)，右边 = [n(n+1)/2] / n^2。
公式：n(n+1)/(2(M+n^2)) ≤ b_n ≤ n(n+1)/(2n^2)
提示：求和公式∑_{k=1}^n k = n(n+1)/2。
步骤 3/4
目标：利用夹逼准则求b_n的极限
计算左右两边的极限：lim_{n→∞} n(n+1)/(2(M+n^2)) = 1/2，lim_{n→∞} n(n+1)/(2n^2) = 1/2。由夹逼准则得lim_{n→∞} b_n = 1/2。
公式：lim_{n→∞} n(n+1)/(2(M+n^2)) = 1/2, lim_{n→∞} n(n+1)/(2n^2) = 1/2
提示：分子分母同除以n^2后求极限。
步骤 4/4
目标：求1/b_n的极限
由于lim b_n = 1/2，故lim (1/b_n) = 2。
公式：lim_{n→∞} 1/b_n = 1/(1/2) = 2
提示：极限的倒数等于倒数的极限（分母极限非零）。
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