kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设正项数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调增加，则以下选项中使得 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的是（ ）。 （A）$\displaystyle \left\{\left(1+a_{n}\right)^{\frac{1}{a_{n}}}\right\}$ 收敛于 1 （B）$\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{a_{n}}\right)^{a_{n}}\right\}$ 收敛于 e （C）$\left\{a_{n} \ln a_{n}\right\}$ 收敛于 0 （D）$\displaystyle \left\{\frac{\ln a_{n}}{a_{n}}\right\}$ 收敛于 0
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：正项数列$\{a_n\}$单调增加，若收敛则必有上界。 步骤2：选项C：$\{a_n\ln a_n\}$收敛于0，由于$a_n>0$且单调增，若$a_n\to\infty$则$a_n\ln a_n\to\infty$，矛盾，故$a_n$有界，从而收敛。 步骤3：其他选项不能保证有界。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析数列单调增加且收敛的条件
正项数列 {a_n} 单调增加，若收敛则必有上界。因此，需要判断哪个选项能推出 {a_n} 有上界。
提示：单调增加数列收敛的充要条件是有上界。
步骤 2/3
目标：验证选项C
选项C：{a_n ln a_n} 收敛于0。由于 a_n > 0 且单调增加，若 a_n → +∞，则 a_n ln a_n → +∞，与收敛于0矛盾。故 a_n 必有上界，从而收敛。
公式：lim_{n→∞} a_n ln a_n = 0
提示：利用反证法：假设无界，则极限为无穷，与已知矛盾。
步骤 3/3
目标：排除其他选项
选项A：{(1+a_n)^{1/a_n}} 收敛于1。例如 a_n = n，则 (1+n)^{1/n} → 1，但 {a_n} 发散。选项B：{(1+1/a_n)^{a_n}} 收敛于e。例如 a_n = n，则 (1+1/n)^n → e，但 {a_n} 发散。选项D：{ln a_n / a_n} 收敛于0。例如 a_n = n，则 ln n / n → 0，但 {a_n} 发散。
提示：构造反例：取 a_n = n，验证各选项极限成立但数列发散。
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