kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（解答题） 4．设 $\displaystyle x_{0}>0, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)(n=0,1,2, \cdots)$ ，且 $a>0$ ，证明 $\lim _{n \rightarrow-\infty} x_{n}$ 存在，并求此极限．
💡 答案解析
**答案**：$\sqrt{a}$ **解析**： 步骤1：由$\displaystyle x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)$，且$x_0>0$，易知$x_n>0$。 步骤2：由均值不等式，$x_{n+1}\geq\sqrt{a}$，故数列有下界。 步骤3：$\displaystyle x_{n+1}-x_n=\frac12\left(\frac{a}{x_n}-x_n\right)=\frac{a-x_n^2}{2x_n}\leq0$，故数列单调递减。 步骤4：由单调有界准则，极限存在，设$\lim_{n\to\infty}x_n=L$，则$\displaystyle L=\frac12\left(L+\frac{a}{L}\right)$，解得$L=\sqrt{a}$（负值舍去）。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明数列各项为正
由 x0>0 和递推公式 x_{n+1}=1/2(x_n + a/x_n) 及 a>0，易知所有 x_n>0。
公式：x_{n+1}=1/2(x_n + a/x_n)
提示：注意 a>0 和 x0>0，通过归纳法可证。
步骤 2/4
目标：证明数列有下界
利用均值不等式，x_{n+1}=1/2(x_n + a/x_n) ≥ √(x_n * a/x_n)=√a，所以数列有下界√a。
公式：x_{n+1} ≥ √a
提示：均值不等式：对于正数 u,v，有 (u+v)/2 ≥ √(uv)。
步骤 3/4
目标：证明数列单调递减
计算 x_{n+1} - x_n = 1/2(a/x_n - x_n) = (a - x_n^2)/(2x_n)。由 x_n ≥ √a 知 a - x_n^2 ≤ 0，故 x_{n+1} - x_n ≤ 0，数列单调递减。
公式：x_{n+1} - x_n = (a - x_n^2)/(2x_n)
提示：注意利用上一步的下界结论。
步骤 4/4
目标：求极限
由单调有界准则，极限存在，设 lim x_n = L。对递推式两边取极限得 L = 1/2(L + a/L)，解得 L^2 = a，即 L = √a（负值舍去）。
公式：L = 1/2(L + a/L)
提示：取极限时注意 L>0。
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