kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．设 $f(x)$ 满足 $|f(x)-f(y)|<|x-y|$ ，对任意不同的 $x, y$ 均成立，且
$$ f\left(x_{1}\right)>x_{1}, f\left(x_{1}+1\right) （1）证明 $f(x)=x$ 在 $\left(x_{1}, x_{1}+1\right)$ 内有唯一实根 $\xi$ ； （2）证明 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛于 $\xi$ 。
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**： 步骤1：令$g(x)=f(x)-x$，则$g(x_1)>0$，$g(x_1+1)<0$，由介值定理存在$\xi\in(x_1,x_1+1)$使$g(\xi)=0$。 步骤2：若存在两个不同根，则$|f(\xi_1)-f(\xi_2)|=|\xi_1-\xi_2|$，与条件矛盾，故唯一。 步骤3：由$2x_{n+1}=x_n+f(x_n)$得$\displaystyle x_{n+1}-\xi=\frac12[(x_n-\xi)+(f(x_n)-f(\xi))]$，故$\displaystyle |x_{n+1}-\xi|\leq\frac12(|x_n-\xi|+|f(x_n)-f(\xi)|)<|x_n-\xi|$，数列单调有界，收敛于$\xi$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明存在性
令 g(x)=f(x)-x，则 g(x1)=f(x1)-x1>0，g(x1+1)=f(x1+1)-(x1+1)<0。由介值定理，存在 ξ∈(x1, x1+1) 使得 g(ξ)=0，即 f(ξ)=ξ。
公式：g(x)=f(x)-x
提示：注意利用已知不等式构造辅助函数
步骤 2/3
目标：证明唯一性
假设存在两个不同的根 ξ1, ξ2∈(x1, x1+1) 满足 f(ξ1)=ξ1, f(ξ2)=ξ2，则 |f(ξ1)-f(ξ2)|=|ξ1-ξ2|，与条件 |f(x)-f(y)|<|x-y| 矛盾，故根唯一。
提示：反证法，利用已知严格不等式
步骤 3/3
目标：证明数列收敛
由递推式 2x_{n+1}=x_n+f(x_n) 及 f(ξ)=ξ，得 x_{n+1}-ξ = (1/2)[(x_n-ξ)+(f(x_n)-f(ξ))]。取绝对值，利用三角不等式和已知条件得 |x_{n+1}-ξ| ≤ (1/2)(|x_n-ξ|+|f(x_n)-f(ξ)|) < (1/2)(|x_n-ξ|+|x_n-ξ|)=|x_n-ξ|，故数列单调递减有下界，收敛于某极限。再令 n→∞，由递推式得极限满足 ξ' = (ξ'+f(ξ'))/2，即 f(ξ')=ξ'，由唯一性知极限为 ξ。
公式：x_{n+1}-ξ = (1/2)[(x_n-ξ)+(f(x_n)-f(ξ))]
提示：注意不等式严格，确保单调递减
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