kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．当 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin ^{n} x+\cos ^{n} x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\max\{\sin x,\cos x\}$ **解析**： 步骤1：当$\displaystyle x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，$\sin x,\cos x\geq0$，设$M=\max\{\sin x,\cos x\}$。 步骤2：$M^n\leq\sin^n x+\cos^n x\leq2M^n$，开方得$M\leq\sqrt[n]{\sin^n x+\cos^n x}\leq\sqrt[n]{2}M$。 步骤3：$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1$，由夹逼准则得极限为$M$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定被开方数的范围
由于 $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$，所以 $\sin x \geq 0$，$\cos x \geq 0$。设 $M = \max\{\sin x, \cos x\}$。
提示：注意三角函数的非负性。
步骤 2/3
目标：建立不等式
因为 $M$ 是最大值，所以 $M^n \leq \sin^n x + \cos^n x \leq 2M^n$。
公式：$M^n \leq \sin^n x + \cos^n x \leq 2M^n$
提示：利用最大值和最小值进行放缩。
步骤 3/3
目标：开方并取极限
对不等式开 $n$ 次方得 $M \leq \sqrt[n]{\sin^n x + \cos^n x} \leq \sqrt[n]{2} M$。由于 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2} = 1$，由夹逼准则得极限为 $M$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2} = 1$
提示：夹逼准则的应用。
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