kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设 $\displaystyle 0 \leqslant x_{1} \leqslant \sqrt{c}, x_{n+1}=\frac{c\left(1+x_{n}\right)}{c+x_{n}}, n \in \mathbf{Z}^{+}, c>1$ ．证明数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其值．
💡 答案解析
**答案**：$\sqrt{c}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle x_{n+1}=\frac{c(1+x_n)}{c+x_n}$，$c>1$，$0\leq x_1\leq\sqrt{c}$，易证$0\leq x_n\leq\sqrt{c}$。 步骤2：$\displaystyle x_{n+1}-\sqrt{c}=\frac{c(1+x_n)}{c+x_n}-\sqrt{c}=\frac{(c-\sqrt{c})(\sqrt{c}-x_n)}{c+x_n}\geq0$，故$x_n\leq\sqrt{c}$且$x_{n+1}\geq\sqrt{c}$（$n\geq2$）。 步骤3：$\displaystyle x_{n+2}-x_{n+1}=\frac{c(1+x_{n+1})}{c+x_{n+1}}-\frac{c(1+x_n)}{c+x_n}=\frac{c(c-1)(x_{n+1}-x_n)}{(c+x_{n+1})(c+x_n)}$，符号相同，故单调。 步骤4：极限存在，设$\displaystyle L=\frac{c(1+L)}{c+L}$，解得$L=\sqrt{c}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明数列有界
由递推公式和初始条件，利用数学归纳法证明0 ≤ x_n ≤ √c。首先，当n=1时，0 ≤ x_1 ≤ √c成立。假设0 ≤ x_n ≤ √c，则x_{n+1} = c(1+x_n)/(c+x_n)。由于c>1，分子分母均为正，故x_{n+1} ≥ 0。又x_{n+1} - √c = (c-√c)(√c - x_n)/(c+x_n) ≥ 0，所以x_{n+1} ≤ √c。因此对所有n，0 ≤ x_n ≤ √c。
公式：x_{n+1} - √c = (c-√c)(√c - x_n)/(c+x_n)
提示：注意c>1，所以c-√c>0，因此x_{n+1}与√c的大小关系由x_n决定。
步骤 2/3
目标：证明数列单调（从第二项开始）
考虑相邻两项的差：x_{n+2} - x_{n+1} = c(c-1)(x_{n+1} - x_n)/[(c+x_{n+1})(c+x_n)]。由于分母为正，c-1>0，所以x_{n+2} - x_{n+1}与x_{n+1} - x_n同号。因此数列从第二项起单调。结合有界性，数列收敛。
公式：x_{n+2} - x_{n+1} = c(c-1)(x_{n+1} - x_n)/[(c+x_{n+1})(c+x_n)]
提示：单调性需要判断符号，注意递推关系。
步骤 3/3
目标：求极限值
设极限为L，则L满足L = c(1+L)/(c+L)。解方程：L(c+L) = c(1+L) => cL + L^2 = c + cL => L^2 = c => L = √c（负值舍去，因为数列非负）。
公式：L = c(1+L)/(c+L)
提示：解方程时注意化简，得到L^2=c。
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