kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（填空题） 6． $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}=$ $\_\_\_\_$ ．公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程
💡 答案解析
**答案**：$\max\{1,|x|^3\}$ **解析**： 步骤1：设$M=\max\{1,|x|^3\}$，则$M^n\leq1+|x|^{3n}\leq2M^n$。 步骤2：开方得$M\leq\sqrt[n]{1+|x|^{3n}}\leq\sqrt[n]{2}M$，$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1$，由夹逼准则得极限为$M$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定极限的表达式形式
考虑极限 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3n}}$，其中 $x$ 为实数。由于 $n$ 次根号下包含 $|x|^{3n}$，需要比较 $1$ 和 $|x|^3$ 的大小。
提示：注意 $|x|^{3n} = (|x|^3)^n$，因此根号内是 $1$ 与 $(|x|^3)^n$ 的和。
步骤 2/4
目标：引入最大值 $M$
设 $M = \max\{1, |x|^3\}$，则 $M^n \leq 1 + |x|^{3n} \leq 2M^n$。这是因为：若 $|x|^3 \leq 1$，则 $M=1$，$1+|x|^{3n} \leq 2$；若 $|x|^3 > 1$，则 $M=|x|^3$，$1+|x|^{3n} \leq 2|x|^{3n}$。
公式：M = \max\{1, |x|^3\}
提示：分情况讨论 $|x|^3$ 与 $1$ 的大小关系，但统一用 $M$ 表示。
步骤 3/4
目标：应用夹逼准则
对不等式 $M^n \leq 1+|x|^{3n} \leq 2M^n$ 两边开 $n$ 次方，得 $M \leq \sqrt[n]{1+|x|^{3n}} \leq \sqrt[n]{2} \cdot M$。由于 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2} = 1$，由夹逼准则得 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3n}} = M$。
公式：\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2} = 1
提示：夹逼准则的关键是找到上下界，且上下界极限相等。
步骤 4/4
目标：写出最终结果
因此，极限值为 $\max\{1, |x|^3\}$。
提示：结果与 $x$ 有关，需用最大值表示。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。