kaoyan1basic 高等数学 第6题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第6题（解答题） 6．（1）当 $\displaystyle 0\frac{2}{\pi} x$ ； （2）设数列 $\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{n+1}=\sin x_{n}, y_{n+1}=y_{n}^{2}, n=1,2,3, \cdots, x_{1}=y_{1}=\frac{1}{2}$ ，当 $n \rightarrow \infty$ 时、证明 $y_{n}$ 是比 $x_{n}$ 高阶的无穷小量。

💡 答案解析

**答案**：见解析 **解析**： 步骤1：令$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$，$\displaystyle x\in(0,\frac{\pi}{2})$，$\displaystyle f'(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}<0$，故$f(x)$递减，$\displaystyle f(x)>f(\frac{\pi}{2})=\frac{2}{\pi}$，即$\displaystyle \sin x>\frac{2}{\pi}x$。 步骤2：$x_{n+1}=\sin x_n$，$\displaystyle x_1=\frac12$，易证$x_n\to0$；$y_{n+1}=y_n^2$，$\displaystyle y_1=\frac12$，得$\displaystyle y_n=(\frac12)^{2^{n-1}}$。 步骤3：$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{y_n}{x_n}=0$，故$y_n$是比$x_n$高阶的无穷小。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：证明当0 (2/π)x
令f(x)=sin x/x，x∈(0,π/2)。求导得f'(x)=(x cos x - sin x)/x^2。令g(x)=x cos x - sin x，则g'(x)=cos x - x sin x - cos x = -x sin x < 0，故g(x)递减，g(x)f(π/2)=2/π，即sin x > (2/π)x。
公式：f(x)=sin x/x, f'(x)=(x cos x - sin x)/x^2
提示：利用导数判断单调性，注意端点值比较。
步骤 2/3
目标：分析数列{x_n}和{y_n}的极限
由x_{n+1}=sin x_n，x_1=1/2，且0 (2/π)x_n，故x_n递减有下界0，极限为0。y_{n+1}=y_n^2，y_1=1/2，递推得y_n=(1/2)^{2^{n-1}}，显然趋于0。
公式：y_n = (1/2)^{2^{n-1}}
提示：注意数列递推形式的求解。
步骤 3/3
目标：证明y_n是比x_n高阶的无穷小
考虑极限lim_{n→∞} y_n/x_n。由(1)知x_n > (2/π)x_{n-1} > ... > (2/π)^{n-1} x_1 = (2/π)^{n-1} * 1/2。而y_n = (1/2)^{2^{n-1}}。比较指数增长，当n→∞时，y_n/x_n → 0，故y_n是比x_n高阶的无穷小。
公式：lim_{n→∞} y_n/x_n = 0
提示：利用不等式放缩比较增长速度。

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