kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle 0
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**： 步骤1：由$\cos x_{n+1}-x_{n+1}=\cos x_n$，设$f(x)=\cos x-x$，则$f(x_{n+1})=\cos x_n$。 步骤2：$f(x)$在$\displaystyle (0,\frac{\pi}{2})$严格递减，且$f(0)=1$，$\displaystyle f(\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{2}$。由$\cos x_n\in(0,1)$，故存在唯一$\displaystyle x_{n+1}\in(0,\frac{\pi}{2})$。 步骤3：由$f(x_{n+1})=\cos x_n$，且$\cos x_n=f(x_n)+x_n$，得$f(x_{n+1})-f(x_n)=x_n$，故$f(x_{n+1})>f(x_n)$，由$f$递减得$x_{n+1}
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明极限存在并求值
设 f(x)=cos x - x，则 f(x_{n+1}) = cos x_n。f(x) 在 (0, π/2) 严格递减，且 f(0)=1，f(π/2)=-π/2。由 0 f(x_n)，由 f 递减得 x_{n+1} < x_n，故 {x_n} 严格递减有下界0，极限存在，设为 L。对递推式取极限得 cos L - L = cos L，解得 L=0。
公式：f(x)=cos x - x, f(x_{n+1})=cos x_n, f(x_{n+1})-f(x_n)=x_n
提示：构造辅助函数，利用单调有界准则证明极限存在。
步骤 2/2
目标：计算极限 lim_{n→∞} x_{n+1}/x_n^2
由 cos x_{n+1} - x_{n+1} = cos x_n，将 cos 展开：1 - x_{n+1}^2/2 + o(x_{n+1}^2) - x_{n+1} = 1 - x_n^2/2 + o(x_n^2)，整理得 x_{n+1} + x_{n+1}^2/2 = x_n^2/2 + o(x_n^2)。由于 x_n→0，x_{n+1} 是比 x_n^2 高阶的无穷小？实际上，由上式得 x_{n+1} ~ x_n^2/2，故极限为 1/2。
公式：cos x = 1 - x^2/2 + o(x^2), x_{n+1} ~ x_n^2/2
提示：利用泰勒展开，比较无穷小的阶数。
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