kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（选择题） 2、设 $F(x)=g(x) \varphi(x), \varphi(x)$ 在 $x=a$ 处连续但不可导，$g(x)$ 在 $x=a$ 处可导，$F(x)$ 在 $x=g$处可导，则一定有（ ）。 $(A)_{g}(a)=0$ （B）$g(a) \neq 0$ （C）$)_{g}^{\prime}(a)=0$ （D）$g(a)$ 可以为任意实数
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：由$F(x)=g(x)\varphi(x)$，$F(x)$在$x=a$处可导，则$F(x)$在$x=a$处连续，且$F'(a)$存在。 步骤2：由乘积求导法则，$F'(a)=g'(a)\varphi(a)+g(a)\varphi'(a)$，但$\varphi(x)$在$x=a$处不可导，故$\varphi'(a)$不存在，因此必须$g(a)=0$才能使$F'(a)$存在。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析F(x)在x=a处可导的条件
由F(x)=g(x)φ(x)在x=a处可导，则F(x)在x=a处连续，且F'(a)存在。
步骤 2/3
目标：应用乘积求导法则
假设φ(x)在x=a处可导，则F'(a)=g'(a)φ(a)+g(a)φ'(a)。但已知φ(x)在x=a处不可导，因此φ'(a)不存在。为使F'(a)存在，必须消除含φ'(a)的项，即令g(a)=0。
公式：F'(a)=g'(a)φ(a)+g(a)φ'(a)
提示：注意：乘积求导法则要求两个函数都可导，但这里φ(x)不可导，因此不能直接使用，需通过极限定义或特殊条件处理。
步骤 3/3
目标：得出结论
因此，必须有g(a)=0，才能使F(x)在x=a处可导。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。