kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．函数 $f(x)=\left(e^{x}-1\right)\left|x^{3}-x^{2}+x\right|$ 的不可导点的个数为 () 。 （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$f(x)=(e^x-1)|x^3-x^2+x|$，$e^x-1$处处可导，不可导点可能来自绝对值内部零点。 步骤2：$x^3-x^2+x=x(x^2-x+1)$，判别式$1-4<0$，仅有一个实根$x=0$，故仅有一个不可导点$x=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定函数中可能导致不可导的部分
函数 f(x) = (e^x - 1) |x^3 - x^2 + x|，其中 e^x - 1 处处可导，因此不可导点只可能来自绝对值内部表达式 g(x) = x^3 - x^2 + x 的零点。
提示：注意绝对值函数在零点处可能不可导，需检查零点处导数是否为零。
步骤 2/4
目标：求解 g(x) 的零点
令 g(x) = x^3 - x^2 + x = x(x^2 - x + 1) = 0。二次式 x^2 - x + 1 的判别式 Δ = 1 - 4 = -3 < 0，无实根。因此唯一实根为 x = 0。
公式：x^3 - x^2 + x = x(x^2 - x + 1)
提示：判别式小于0说明二次式恒正，仅有一个零点。
步骤 3/4
目标：判断 x=0 是否为不可导点
在 x=0 处，g(0)=0，且 g'(x)=3x^2-2x+1，g'(0)=1≠0，因此绝对值函数 |g(x)| 在 x=0 处不可导。而 e^x-1 在 x=0 处可导且值为0，但乘积的不可导性由绝对值决定，故 f(x) 在 x=0 处不可导。
公式：g'(0)=1≠0
提示：若绝对值内部函数在零点处导数非零，则绝对值函数在该点不可导。
步骤 4/4
目标：得出结论
函数 f(x) 仅有一个不可导点 x=0，故不可导点个数为1。
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