kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（填空题） 1．设 $f(x)$ 浿足 $f(0)=0$ ，且 $f^{\prime}(0)$ 存在，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1-\cos x)}{\ln (1-x \sin x)}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$f'(0)$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$，$\ln(1-x\sin x)\sim -x\sin x\sim -x^2$。 步骤2：原极限$\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{f(1-\cos x)}{1-\cos x}\cdot\frac{1-\cos x}{\ln(1-x\sin x)}=f'(0)\cdot\frac{\frac{x^2}{2}}{-x^2}=-\frac{1}{2}f'(0)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简分母和分子中的无穷小量
当 x→0 时，1-cos x ~ x^2/2，ln(1-x sin x) ~ -x sin x ~ -x^2。
公式：1-cos x ~ x^2/2, ln(1+u) ~ u, sin x ~ x
提示：注意等价无穷小替换的条件，确保替换后的表达式不为零。
步骤 2/5
目标：将极限拆分为两个极限的乘积
原极限 = lim_{x→0} [f(1-cos x)/(1-cos x)] * [(1-cos x)/ln(1-x sin x)]。
公式：lim (A*B) = lim A * lim B，若各极限存在
提示：拆分时需保证每个极限都存在，这里 f'(0) 存在且第二个极限可计算。
步骤 3/5
目标：计算第一个极限
令 u=1-cos x，则 x→0 时 u→0，lim_{x→0} f(1-cos x)/(1-cos x) = lim_{u→0} f(u)/u = f'(0)。
公式：f'(0) = lim_{u→0} (f(u)-f(0))/u = lim_{u→0} f(u)/u
提示：注意 f(0)=0，所以 f(u)/u 的极限就是 f'(0)。
步骤 4/5
目标：计算第二个极限
利用等价无穷小替换：1-cos x ~ x^2/2，ln(1-x sin x) ~ -x^2，所以 (1-cos x)/ln(1-x sin x) ~ (x^2/2)/(-x^2) = -1/2。
公式：lim_{x→0} (1-cos x)/ln(1-x sin x) = -1/2
提示：注意符号，ln(1-x sin x) 等价于 -x sin x，而 sin x ~ x，所以分母等价于 -x^2。
步骤 5/5
目标：相乘得到最终结果
原极限 = f'(0) * (-1/2) = -f'(0)/2。
提示：检查计算过程，确保没有遗漏负号。
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