kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 【强化篇】第15题（解答题） 15．已知 $f(x)$ 可导，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$ ，方程 $f(x)=x$ 有唯一解 $x=0$ ，又 $x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1$ ， $2, \cdots$ ．证明：当 $n \rightarrow \infty$ 时，$x_{n}$ 是 $\displaystyle \mathrm{e}^{-\frac{n}{2}}$ 的高阶无穷小．
## 第3章 一元函数微分学的概念
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：由拉格朗日中值定理，$\displaystyle |x_{n+1}|=|f(x_n)-f(0)|\leq \frac{1}{e}|x_n|$，递推得$\displaystyle |x_n|\leq \left(\frac{1}{e}\right)^{n-1}|x_1|$。 步骤2：$\displaystyle \frac{|x_n|}{e^{-n/2}}\leq e^{n/2}\cdot e^{-(n-1)}|x_1|=e^{1-n/2}|x_1|\to0$，故$x_n$是$e^{-n/2}$的高阶无穷小。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立递推不等式
由拉格朗日中值定理，存在ξ介于x_n与0之间，使得|x_{n+1}|=|f(x_n)-f(0)|=|f'(ξ)||x_n|≤(1/e)|x_n|。
公式：|x_{n+1}| ≤ (1/e)|x_n|
提示：注意f(0)=0，因为方程f(x)=x有唯一解x=0。
步骤 2/3
目标：递推得到|x_n|的上界
反复应用递推不等式，得|x_n| ≤ (1/e)^{n-1}|x_1|。
公式：|x_n| ≤ e^{-(n-1)}|x_1|
步骤 3/3
目标：比较无穷小的阶
考虑比值|x_n|/e^{-n/2} ≤ e^{n/2}·e^{-(n-1)}|x_1| = e^{1-n/2}|x_1| → 0 (n→∞)。
公式：lim_{n→∞} |x_n|/e^{-n/2} = 0
提示：因此x_n是e^{-n/2}的高阶无穷小。
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