kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
### 【强化篇】第14题（解答题） 14．设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足：
$$ $\begin{gathered}$ a_{0}=\frac{1}{2}, a_{n+1}=a_{n}^{2}, n=0,1,2, \cdots \\ b_{n}=\tan b_{n+1}, 0<-b_{n}<\frac{\pi}{4}, n=0,1,2, \cdots \end{gathered} $$
计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle a_0=\frac{1}{2}$，$a_{n+1}=a_n^2$，得$\displaystyle a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{2^n}$。 步骤2：由$b_n=\tan b_{n+1}$，$\displaystyle 0<-b_n<\frac{\pi}{4}$，得$b_n\sim b_{n+1}$，且$b_n\to0$，故$b_n\sim b_{n+1}$，递推得$\displaystyle b_n\sim \frac{1}{n}$（近似）。 步骤3：$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}\sim \frac{(1/2)^{2^n}}{1/n}\to0$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求数列 {a_n} 的通项公式
由 a_0 = 1/2 和递推关系 a_{n+1} = a_n^2，反复迭代可得 a_n = (1/2)^{2^n}。
公式：a_n = (1/2)^{2^n}
提示：注意指数形式，2^n 增长很快。
步骤 2/3
目标：分析数列 {b_n} 的极限行为
由 b_n = tan(b_{n+1}) 且 0 < -b_n < π/4，可知 b_n 为负且趋于 0。利用 tan x ~ x (x→0)，得 b_n ~ b_{n+1}，进一步可证 b_n ~ -1/n（更精确的估计可通过迭代得到）。
公式：b_n ~ -1/n
提示：利用等价无穷小和递推关系，注意符号。
步骤 3/3
目标：计算极限
将 a_n 和 b_n 的近似代入：a_n / b_n ~ (1/2)^{2^n} / (1/n) = n / 2^{2^n}，当 n→∞ 时，指数增长远快于线性，故极限为 0。
公式：lim_{n→∞} n / 2^{2^n} = 0
提示：比较增长速度，指数函数占优。
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