kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 【强化篇】第13题（解答题） 13．设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{n}{2}} \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ． （1）证明 $a_{n+1}
💡 答案解析
**答案**： (1) 证明见解析 (2) $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ **解析**： (1) 步骤1：$\displaystyle a_n=\int_0^1(1-x^2)^{\frac{n}{2}}dx$，被积函数随$n$增大而减小，故$a_{n+1}
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明数列 {a_n} 的单调性
对于任意 x ∈ [0,1]，有 0 ≤ 1 - x^2 ≤ 1，因此 (1 - x^2)^{(n+1)/2} ≤ (1 - x^2)^{n/2} ≤ (1 - x^2)^{(n-1)/2}，且等号仅在 x=0 或 x=1 时成立。积分得 a_{n+1} < a_n < a_{n-1}。
公式：a_n = ∫_0^1 (1-x^2)^{n/2} dx
提示：利用被积函数的单调性比较积分值。
步骤 2/3
目标：将 a_n 转化为 Beta 函数或 Wallis 积分形式
令 x = sin t，则 dx = cos t dt，当 x=0 时 t=0，x=1 时 t=π/2。于是 a_n = ∫_0^{π/2} (cos^2 t)^{n/2} cos t dt = ∫_0^{π/2} cos^{n+1} t dt。
公式：a_n = ∫_0^{π/2} cos^{n+1} t dt
提示：三角换元是处理含根号 (1-x^2) 积分的常用方法。
步骤 3/3
目标：利用 Wallis 公式求极限
由 Wallis 公式：lim_{n→∞} (∫_0^{π/2} cos^n t dt)^2 * n = π/2。注意这里 a_n 对应 n+1 次幂，因此 lim_{n→∞} n a_n^2 = lim_{n→∞} n (∫_0^{π/2} cos^{n+1} t dt)^2 = π/4。
公式：Wallis 公式：lim_{n→∞} (∫_0^{π/2} cos^n t dt)^2 * n = π/2
提示：注意指数调整：a_n 的幂次为 n+1，代入 Wallis 公式时需将 n 替换为 n+1。
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