kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【强化篇】第12题（解答题） 12．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}, n=2,3, \cdots$ ，计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)^{\ln \left(1+\mathrm{e}^{2 n}\right)}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$e^{-1}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle a_n=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^n}$，令$x=\tan t$，得$\displaystyle a_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n-2}t dt$，即Wallis积分。 步骤2：$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2n-1}{2n}$，$\ln(1+e^{2n})\sim 2n$，故极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n-1}{2n}\right)^{2n}=e^{-1}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算 a_n 的表达式
令 x = tan t，则 dx = sec^2 t dt，当 x=0 时 t=0，x→+∞ 时 t→π/2。代入得 a_n = ∫_0^{π/2} cos^{2n-2} t dt。
公式：a_n = ∫_0^{π/2} cos^{2n-2} t dt
提示：利用三角换元简化积分，注意幂次变化。
步骤 2/4
目标：利用Wallis公式求 a_{n+1}/a_n
由Wallis积分公式，∫_0^{π/2} cos^{2k} t dt = (2k-1)!!/(2k)!! * π/2，但此处只需比值。直接计算 a_{n+1}/a_n = (2n-1)/(2n)。
公式：a_{n+1}/a_n = (2n-1)/(2n)
提示：Wallis公式：∫_0^{π/2} cos^{2n} t dt = (2n-1)!!/(2n)!! * π/2，但本题中指数为2n-2，注意对应。
步骤 3/4
目标：化简极限表达式
原极限为 lim_{n→∞} ((2n-1)/(2n))^{ln(1+e^{2n})}。由于 ln(1+e^{2n}) ~ 2n (n→∞)，故极限等价于 lim_{n→∞} ((2n-1)/(2n))^{2n}。
公式：ln(1+e^{2n}) ~ 2n
提示：当 n 很大时，e^{2n} 远大于1，所以 ln(1+e^{2n}) ≈ ln(e^{2n}) = 2n。
步骤 4/4
目标：计算最终极限
lim_{n→∞} ((2n-1)/(2n))^{2n} = lim_{n→∞} (1 - 1/(2n))^{2n} = e^{-1}。
公式：lim_{n→∞} (1 - 1/(2n))^{2n} = e^{-1}
提示：利用重要极限 lim_{x→∞} (1 + 1/x)^x = e，注意符号。
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