kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【基础篇】第12题（解答题） 12．设单调递减数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{n+1}=2 \ln \left(1+x_{n}\right), n=1,2, \cdots, x_{1}>a>0$ ，且 $a$ 是 $x-2 \ln (1+ x)=0$ 的唯一非零解，证明 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：设$f(x)=2\ln(1+x)$，$x>0$时$f(x)
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明数列单调递减且有下界
设 f(x)=2ln(1+x)，对于 x>0，考虑函数 g(x)=x-2ln(1+x)，求导得 g'(x)=1-2/(1+x)=(x-1)/(1+x)，当 x>1 时 g'(x)>0，当 00，故 x>0 时 g(x)>0，即 x>2ln(1+x)。因此 x_{n+1}=2ln(1+x_n)0，故有下界0。
公式：x_{n+1}=2\ln(1+x_n), \quad x-2\ln(1+x)>0 \ (x>0)
提示：利用函数单调性证明不等式
步骤 2/2
目标：利用单调有界准则证明收敛并求极限
由单调递减且有下界，根据单调有界准则，数列收敛。设极限为 L，则 L=2ln(1+L)。已知方程 x-2ln(1+x)=0 的唯一非零解为 a，且 x=0 也是解。由于 x_1>a>0 且数列递减，故极限 L 不能为0（否则从大于 a 递减到0不可能），因此 L=a。
公式：L=2\ln(1+L), \quad L=a
提示：注意排除零解
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