kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【强化篇】第11题（解答题） 11．已知 $a_{n}=\int_{0}^{1} t^{n}|\ln t| \mathrm{d} t, n=1,2, \cdots$ ，计算 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2} a_{n}\right)^{n}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$e^{-2}$ **解析**： 步骤1：$a_n=\int_0^1 t^n|\ln t|dt$，令$t=e^{-u}$，得$\displaystyle a_n=\int_0^{+\infty}ue^{-(n+1)u}du=\frac{1}{(n+1)^2}$。 步骤2：$\displaystyle n^2 a_n=\frac{n^2}{(n+1)^2}$，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^2}{(n+1)^2}\right)^n=e^{-2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算积分 a_n
令 t = e^{-u}，则 dt = -e^{-u} du，积分限 t:0→1 对应 u:+∞→0，所以 a_n = ∫_{0}^{1} t^n |ln t| dt = ∫_{+∞}^{0} e^{-nu} u (-e^{-u}) du = ∫_{0}^{+∞} u e^{-(n+1)u} du。
公式：∫_{0}^{+∞} u e^{-α u} du = 1/α^2 (α>0)
提示：换元后注意积分限变化，利用伽马函数或分部积分计算积分。
步骤 2/4
目标：计算积分值
由公式 ∫_{0}^{+∞} u e^{-(n+1)u} du = 1/(n+1)^2，所以 a_n = 1/(n+1)^2。
公式：∫_{0}^{+∞} u e^{-α u} du = 1/α^2
提示：可直接用分部积分：∫ u e^{-α u} du = -u e^{-α u}/α - e^{-α u}/α^2。
步骤 3/4
目标：计算 n^2 a_n
n^2 a_n = n^2/(n+1)^2 = (1/(1+1/n))^2。
公式：n^2 a_n = n^2/(n+1)^2
提示：化简为 (1+1/n)^{-2}。
步骤 4/4
目标：求极限
lim_{n→∞} (n^2 a_n)^n = lim_{n→∞} [n^2/(n+1)^2]^n = lim_{n→∞} (1+1/n)^{-2n} = e^{-2}。
公式：lim_{n→∞} (1+1/n)^n = e
提示：利用重要极限，注意指数运算。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。