kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（解答题） 11．设 $c=2 \ln (1+b), b>a>0$ ，且 $a$ 是方程 $x-2 \ln (1+x)=0$ 的唯一非零解，证明 $c>a$ ．
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：设$f(x)=x-2\ln(1+x)$，$f(0)=0$，$\displaystyle f'(x)=1-\frac{2}{1+x}$，$x>0$时$f'(x)>0$，故$a>0$是唯一非零解。 步骤2：$c=2\ln(1+b)$，$b>a>0$，则$f(c)=2\ln(1+b)-2\ln(1+2\ln(1+b))$，由$f$单调增及$b>a$得$f(c)>f(a)=0$，故$c>a$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：构造函数并分析其单调性
设 f(x)=x-2ln(1+x)，计算 f(0)=0，求导得 f'(x)=1-2/(1+x)。当 x>0 时，f'(x)>0，因此 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增。由题意，a 是方程 x-2ln(1+x)=0 的唯一非零解，故 a>0 且 f(a)=0。
公式：f(x)=x-2\ln(1+x), f'(x)=1-\frac{2}{1+x}
提示：注意定义域 x>-1，且 a>0 是唯一非零解。
步骤 2/2
目标：利用单调性比较 c 与 a
已知 c=2ln(1+b)，b>a>0。计算 f(c)=2ln(1+b)-2ln(1+2ln(1+b))。由于 b>a，且 f 在 (0,+∞) 上单调递增，有 f(b)>f(a)=0，即 b-2ln(1+b)>0，故 b>2ln(1+b)=c。又因为 a 是方程的解，且 f 单调递增，由 f(c)=2ln(1+b)-2ln(1+c) 不易直接比较，但利用 b>c 和 f 单调性：f(c)=c-2ln(1+c)，而 c=2ln(1+b)0。由于 f 在 (0,+∞) 上递增，且 f(a)=0，要证 c>a，只需证 f(c)>0。而 f(c)=c-2ln(1+c)=2ln(1+b)-2ln(1+2ln(1+b))。由 b>a 得 f(b)>0，即 b>2ln(1+b)=c，故 cc 得 1+b>1+c，故 ln(1+b)>ln(1+c)，所以 c=2ln(1+b)>2ln(1+c)，即 c-2ln(1+c)>0，即 f(c)>0。因此 f(c)>0=f(a)，由 f 单调递增得 c>a。
公式：c=2\ln(1+b), f(c)=c-2\ln(1+c)
提示：关键步骤：由 b>c 推出 c>2ln(1+c)，即 f(c)>0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。