kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设 $x_{1}<0, x_{n+1}=\mathrm{e}^{x_{n}}-1$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}}\right)$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：由$x_{n+1}=e^{x_n}-1$，当$x_n<0$时$x_{n+1}<0$，数列递增趋于0。 步骤2：利用$\displaystyle e^{x_n}=1+x_n+\frac{x_n^2}{2}+o(x_n^2)$，得$\displaystyle x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2}{2}+o(x_n^2)$，故$\displaystyle \frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_n}=-\frac{1}{2}+o(1)$，极限为$\displaystyle -\frac{1}{2}$，所求极限为$\displaystyle \frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析数列单调性和极限
由 x1 < 0，且 x_{n+1} = e^{x_n} - 1，当 x_n < 0 时，e^{x_n} < 1，故 x_{n+1} < 0。又因为 e^{x_n} - 1 > x_n（当 x_n ≠ 0 时），所以数列递增且有上界 0，因此极限存在，设为 a，则 a = e^a - 1，解得 a = 0。
公式：x_{n+1} = e^{x_n} - 1, x_n < 0
提示：注意利用指数函数的性质判断单调性。
步骤 2/3
目标：利用泰勒展开化简递推式
将 e^{x_n} 在 x_n = 0 处泰勒展开：e^{x_n} = 1 + x_n + x_n^2/2 + o(x_n^2)，代入递推式得 x_{n+1} = x_n + x_n^2/2 + o(x_n^2)。
公式：e^{x_n} = 1 + x_n + \frac{x_n^2}{2} + o(x_n^2)
提示：由于 x_n → 0，泰勒展开有效。
步骤 3/3
目标：计算差分的极限
由 x_{n+1} = x_n + x_n^2/2 + o(x_n^2)，取倒数得 1/x_{n+1} = 1/(x_n(1 + x_n/2 + o(x_n))) = (1/x_n)(1 - x_n/2 + o(x_n)) = 1/x_n - 1/2 + o(1)。因此 1/x_{n+1} - 1/x_n = -1/2 + o(1)，故极限为 -1/2。所求极限为 1/x_n - 1/x_{n+1} = -(1/x_{n+1} - 1/x_n) → 1/2。
公式：\frac{1}{x_{n+1}} = \frac{1}{x_n} - \frac{1}{2} + o(1)
提示：注意倒数运算时保留到一阶项。
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