kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 【基础篇】第10题（解答题） 10．设 $a_{n}>0, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=0$ ，且 $\mathrm{e}^{a_{n}}+a_{n}=\mathrm{e}^{b_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：由$e^{a_n}+a_n=e^{b_n}$，且$b_n\to0$，得$e^{b_n}\to1$。 步骤2：若$a_n$有极限$A$，则$e^A+A=1$，解得$A=0$。由单调性（$a_n>0$时$e^{a_n}+a_n>1$，$a_n<0$时$<1$）及$b_n\to0$知$a_n\to0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析已知条件
已知 a_n > 0，且 e^{a_n} + a_n = e^{b_n}，其中 b_n → 0。由极限性质，e^{b_n} → e^0 = 1。
公式：lim_{n→∞} e^{b_n} = e^{lim_{n→∞} b_n} = e^0 = 1
提示：利用指数函数的连续性，将极限移到指数上。
步骤 2/3
目标：假设极限存在并求解
假设 lim_{n→∞} a_n = A，则对等式两边取极限得 e^A + A = 1。解此方程：令 f(x)=e^x+x，f'(x)=e^x+1>0，f(x)单调递增，且 f(0)=1，故唯一解 A=0。
公式：e^A + A = 1 ⇒ A = 0
提示：利用单调性证明解的唯一性。
步骤 3/3
目标：证明极限存在
由 a_n > 0 及 e^{a_n} + a_n = e^{b_n}，当 b_n → 0 时，e^{b_n} → 1。若 a_n 不趋于 0，则 e^{a_n}+a_n 不趋于 1，矛盾。因此 a_n → 0。
公式：若 a_n → A ≠ 0，则 e^{a_n}+a_n → e^A+A ≠ 1，与 e^{b_n}→1 矛盾。
提示：反证法或利用极限的保号性。
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